( \mathbf{2 5}\) pontos) Considere a função, \[f(t)= \begin{cases}\cos 2 t, & \text { se } 0 \leq t<\pi / 2 \\\\ 2-\frac{2 t}{\pi}, & \text { se } t \geq \pi / 2\end{cases}
Escreva esta função usando a função degrau unitário e represente (f] graficamente.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} \cos 2t, & 0 \le t < \pi/2,\\\\ 2-\tfrac{2t}{\pi}, & t \ge \pi/2, \end{cases}
e pede que a escrevamos usando a função degrau unitário u(t) e depois façamos sua representação gráfica. Vamos usar a propriedade
u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a, \end{cases}
para “ligar” e “desligar” cada ramo.

Passo 2

Para obter \cos2t apenas em 0\le t<\pi/2, multiplicamos por u(t) (liga em t=0) e subtraímos u(t-\pi/2) (desliga a partir de t=\pi/2). Para o ramo linear ativamos em t\ge\pi/2 com u(t-\pi/2). Assim,
f(t) = \cos2t\bigl[u(t)-u(t-\tfrac\pi2)\bigr] + \bigl(2-\tfrac{2t}{\pi}\bigr)\,u(t-\tfrac\pi2).

Passo 3

Verificação rápida:
  • Se 0\le t<\pi/2, então u(t)=1 e u(t-\pi/2)=0, logo
f(t)=\cos2t\,(1-0)+(2-\tfrac{2t}{\pi})\cdot0=\cos2t.
  • Se t\ge\pi/2, então u(t)=1 e u(t-\pi/2)=1, logo
f(t)=\cos2t\,(1-1)+(2-\tfrac{2t}{\pi})\cdot1 = 2-\tfrac{2t}{\pi}.
Corresponde exatamente ao enunciado.

Passo 4

Representação gráfica de f(t):
  • No intervalo [0,\pi/2) aparece a curva \cos2t, que parte de (0,1), passa por (\pi/4,0) e chega a (\pi/2,-1).
  • Em t=\pi/2 há salto de -1 para +1.
  • Para t\ge\pi/2 a função é a reta 2-\tfrac{2t}{\pi}, que vale 1 em t=\pi/2, decresce com inclinação -2/\pi e passa por (\pi,0).

Resposta

\boxed{ f(t)=\cos2t\bigl[u(t)-u(t-\tfrac\pi2)\bigr] +\Bigl(2-\tfrac{2t}{\pi}\Bigr)\,u(t-\tfrac\pi2). }

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