Represente a dízima periódica
por uma fração usando séries.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a dízima periódica
como uma fração, usando séries. O conteúdo envolve decompor o número em parte inteira e parte decimal e, em seguida, representar a parte decimal periódica como uma soma infinita (série geométrica). Vamos precisar da fórmula da soma de uma série geométrica
Passo 2
Separamos a parte inteira da parte decimal. Chamando o número de
, temos
onde
Passo 3
A parte decimal
tem o dígito inicial
na primeira casa decimal, seguido pelo período “31” repetido a partir da segunda casa. Logo podemos escrever
Passo 4
O trecho periódico
pode ser expresso como soma infinita dos blocos “31” que aparecem a cada duas casas, começando na terceira casa decimal. A cada
, esse bloco contribui com
Portanto
Passo 5
Para usar a fórmula da série geométrica, reindexamos com
:
Como
, obtemos
Logo
Passo 6
Somamos as frações em
:
então
Logo
Verificamos que
, não há simplificação.