Represente a dízima periódica 1,2313131 \ldots por uma fração usando séries.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 1,2313131\ldots como uma fração, usando séries. O conteúdo envolve decompor o número em parte inteira e parte decimal e, em seguida, representar a parte decimal periódica como uma soma infinita (série geométrica). Vamos precisar da fórmula da soma de uma série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r},\quad |r|<1.

Passo 2

Separamos a parte inteira da parte decimal. Chamando o número de X, temos
X = 1,2313131\ldots = 1 + D,
onde
D = 0,231313131\ldots

Passo 3

A parte decimal D tem o dígito inicial 2 na primeira casa decimal, seguido pelo período “31” repetido a partir da segunda casa. Logo podemos escrever
D = \frac{2}{10} \;+\; 0,031313131\ldots

Passo 4

O trecho periódico 0,031313131\ldots pode ser expresso como soma infinita dos blocos “31” que aparecem a cada duas casas, começando na terceira casa decimal. A cada n\ge1, esse bloco contribui com
\frac{31}{10^{2n+1}}.
Portanto
D = \frac{2}{10} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{31}{10^{2n+1}}.

Passo 5

Para usar a fórmula da série geométrica, reindexamos com k=n-1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{31}{10^{2n+1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{31}{10^{2(k+1)+1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{31}{10^{2k+3}} =\frac{31}{10^3}\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{10^2}\Bigr)^k.
Como \sum_{k=0}^\infty (1/10^2)^k = 1/(1-1/100)=100/99, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{31}{10^{2n+1}} =\frac{31}{1000}\cdot\frac{100}{99} =\frac{31}{990}.
Logo
D = \frac{2}{10} + \frac{31}{990} =\frac{1}{5} + \frac{31}{990}.

Passo 6

Somamos as frações em D:
\frac{1}{5}=\frac{198}{990},
então
D = \frac{198}{990} + \frac{31}{990} = \frac{229}{990}.
Logo
X = 1 + D = 1 + \frac{229}{990} = \frac{990}{990} + \frac{229}{990} = \frac{1219}{990}.
Verificamos que \gcd(1219,990)=1, não há simplificação.

Resposta

\displaystyle \frac{1219}{990}

Exercícios relacionados