( \mathbf{2 5} pontos)
Transforme a e.d.o. linear a seguir em um sistema de equações diferenciais de primeira ordem e represente matricialmente:
y^{\prime \prime \prime}(t)-\sin (2 \pi t) y^{\prime \prime}(t)-4 y(t)-3(t+1)^{2}=0 .

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação diferencial linear de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}(t)-\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,y^{\prime\prime}(t)-4\,y(t)-3\,(t+1)^{2}=0
num sistema equivalente de três equações diferenciais de primeira ordem e depois escrever esse sistema em forma matricial. Vamos usar o procedimento clássico de definir variáveis de estado para reduzir a ordem.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1}(t)=y(t), \quad x_{2}(t)=y^{\prime}(t), \quad x_{3}(t)=y^{\prime\prime}(t).
Então, escrevemos suas derivadas:
x_{1}^{\prime}(t)=x_{2}(t), \quad x_{2}^{\prime}(t)=x_{3}(t).
Para x_{3}^{\prime}(t), observamos que da equação original
y^{\prime\prime\prime}(t) =\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,y^{\prime\prime}(t)+4\,y(t)+3\,(t+1)^{2},
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x_{3}^{\prime}(t) =\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,x_{3}(t)+4\,x_{1}(t)+3\,(t+1)^{2}.

Passo 3

Agrupando as três equações em forma vetorial, temos
\begin{cases} x_{1}^{\prime}(t)=x_{2}(t),\\\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{3}(t),\\\ x_{3}^{\prime}(t)=\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,x_{3}(t)+4\,x_{1}(t)+3\,(t+1)^{2}. \end{cases}
Em notação de vetor-estado X(t)=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, isso se escreve como
X^{\prime}(t) = A(t)\,X(t) + G(t),
onde A(t) é a matriz dos coeficientes de X e G(t) é o termo não homogêneo.

Passo 4

Identificamos
A(t) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 4 & 0 & \sin\bigl(2\pi t\bigr) \end{pmatrix}, \quad G(t) =\begin{pmatrix} 0\\\\ 0\\\\ 3\,(t+1)^{2} \end{pmatrix}.

Resposta

O sistema de primeira ordem equivalente, em forma matricial, é
X^{\prime}(t) =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 4 & 0 & \sin\bigl(2\pi t\bigr) \end{pmatrix} X(t) + \begin{pmatrix} 0\\\\ 0\\\\ 3\,(t+1)^{2} \end{pmatrix}.

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