Estude as convergências das séries a seguir:
\sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{2 n+1}-\frac{2 n-1}{2 n}\right) \quad \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2 n+1)}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de duas séries infinitas em n:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2n}{2n+1}-\frac{2n-1}{2n}\Bigr) \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}.
O conteúdo envolvido inclui simplificação de termos gerais, séries telescópicas e teste de comparação (ou comparação-limite) com a série harmônica.

Passo 2

Para a primeira série, chamemos o termo geral de
a_{n}=\frac{2n}{2n+1}-\frac{2n-1}{2n}.
Vamos combinar as frações em um único quociente:
a_{n} =\frac{2n\cdot 2n - (2n-1)(2n+1)}{2n(2n+1)} =\frac{4n^{2} - \bigl(4n^{2}-1\bigr)}{2n(2n+1)} =\frac{1}{2n(2n+1)}.
Em seguida, fazemos a decomposição em frações simples:
\frac{1}{2n(2n+1)} =\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1},
o que indica que a série é telescópica.

Passo 3

Definindo a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n} =\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\Bigr),
temos
S_{N} =\Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr) + \Bigl(\tfrac14-\tfrac15\Bigr) +\cdots +\Bigl(\tfrac{1}{2N}-\tfrac{1}{2N+1}\Bigr).
Agrupando, obtém-se
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n} \;-\;\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+1} =H_{N}-\bigl(H_{2N+1}-1\bigr),
onde H_{k} é o k-ésimo número harmônico. Como
H_{N}=\ln N+\gamma+o(1), \quad H_{2N+1}=\ln(2N+1)+\gamma+o(1) =\ln N+\ln2+\gamma+o(1),
segue
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\bigl(H_{N}-H_{2N+1}+1\bigr) =1-\ln2.
Portanto a série converge (é telescópica) e seu valor é finito.

Passo 4

Para a segunda série, note que para n grande
\sqrt{n(2n+1)}=\sqrt{2n^{2}+n} \sim\sqrt{2}\,n,
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\frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}} \sim\frac{1}{\sqrt{2}\,n}.
Usando o teste de comparação-limite com b_{n}=1/n, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\,1/\sqrt{n(2n+1)}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{2n+1}} =\frac{1}{\sqrt{2}}>0.
Como \sum 1/n diverge (série harmônica), segue que
\sum 1/\sqrt{n(2n+1)} também diverge.

Resposta

A primeira série é convergente (soma 1-\ln2), e a segunda série é divergente.

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