Estude as convergências das séries a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência de duas séries infinitas em
:
O conteúdo envolvido inclui simplificação de termos gerais, séries telescópicas e teste de comparação (ou comparação-limite) com a série harmônica.
Passo 2
Para a primeira série, chamemos o termo geral de
Vamos combinar as frações em um único quociente:
Em seguida, fazemos a decomposição em frações simples:
o que indica que a série é telescópica.
Passo 3
Definindo a soma parcial
temos
Agrupando, obtém-se
onde
é o
-ésimo número harmônico. Como
segue
Portanto a série converge (é telescópica) e seu valor é finito.
Passo 4
Para a segunda série, note que para
grande
logo
Usando o teste de comparação-limite com
, temos
Como
diverge (série harmônica), segue que
também diverge.
Resposta
A primeira série é convergente (soma
), e a segunda série é divergente.