Calcule os limites
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão
. Isso envolve conceitos de limites e funções exponenciais, então vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de limites infinitos e usar propriedades de exponenciais para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Temos:
Podemos dividir cada termo do numerador por $ 3x $:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ tende ao infinito. Quando $ x $ fica muito grande, $ \frac{1}{3x} $ fica muito pequeno, ou seja, se aproxima de zero. Então, nossa expressão se parece com $ (1 + algo pequeno)^{algo grande} $.
Essa é uma forma clássica que nos lembra da definição do número de Euler $ e $, onde:
Passo 4
Aplicando essa definição à nossa expressão, identificamos que:
- $ a = \frac{1}{3} $ (porque temos $ \frac{1}{3x} $)
- $ b = 2 $ (porque o expoente é $ 2x $)
Então, substituindo na fórmula:
Resposta
O limite é igual a $ e^{\frac{2}{3}} $.