(25 pontos) Seja
.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular
.
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) a derivada de
em
usando a definição de derivada por limite e (b) a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Vamos usar a definição
para obter
e em seguida aplicar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Aplicando a definição em
temos
Passo 3
Para calcular esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por
:
Como
quando
, segue
Passo 4
Para a reta tangente no ponto
usamos a forma ponto-declive
Sabendo que
e
, obtemos
Resposta
(a)
(b) A reta tangente é
(b) A reta tangente é