(25 pontos) Seja f(x)=raizx+2.
(a) (15 pontos) Use a definição de derivada para calcular f^prime(2).
(b) (10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=raizx+2
e pede (a) a derivada de f em x=2 usando a definição de derivada por limite e (b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto l(2,f(2)r). Vamos usar a definição
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h
para obter f'(2) e em seguida aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição em x0=2 temos
f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h =limhto0raiz(2+h)+2-raiz2+2h =limhto0raizh+4-2h

Passo 3

Para calcular esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raizh+4+2:
f'(2) =limhto0raizh+4-2hcdotraizh+4+2raizh+4+2 =limhto0(h+4)-4hl(raizh+4+2r) =limhto0hhl(raizh+4+2r) =limhto01raizh+4+2
Como raizh+4to2 quando hto0, segue
f'(2)=12+2=14

Passo 4

Para a reta tangente no ponto (2,f(2)) usamos a forma ponto-declive
y - f(2)=f'(2)l(x-2r)
Sabendo que f(2)=raiz4=2 e f'(2)=tfrac14, obtemos
y-2=14(x-2) Longrightarrow y=14x+l(2-tfrac12r) =14x+32

Resposta

(a) f'(2)=tfrac14
(b) A reta tangente é y=tfrac14x+tfrac32

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