Questão: Considere a seguinte matriz. O elemento a23 da sua inversa é:
A=[rrr -1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 3 ]
a. -1
b. 2
c. -4
d. 0
e. 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de matrizes onde precisamos encontrar o elemento a23 da matriz inversa de A . A matriz A é:
A = -1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 3
Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a matriz inversa de uma matriz 3x3. Vamos passo a passo entender cada parte para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o determinante da matriz A , que é essencial para calcular a inversa. O determinante ajuda a verificar se a matriz é invertível (se o determinante for diferente de zero).
Para uma matriz 3x3 como A , o determinante ( det(A) ) é calculado assim:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Vamos substituir os valores de A na fórmula.

Passo 3

Substituindo os elementos de A na fórmula do determinante:
det(A) = (-1)(1 cdot 3 - 0 cdot 0) - (-1)(0 cdot 3 - 0 cdot (-2)) + 1(0 cdot 0 - 1 cdot (-2))
Calculando cada parte:
det(A) = (-1)(3 - 0) - (-1)(0 - 0) + 1(0 - (-2))
det(A) = (-1)(3) - (-1)(0) + 1(2)
det(A) = -3 + 0 + 2 = -1
Então, o determinante de A é -1 .

Passo 4

Como o determinante de A é diferente de zero ( -1 neq 0 ), sabemos que A é invertível, ou seja, existe A^-1 .
Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de A . Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado como Cij = (-1)^i+j vezes o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha i e a coluna j .
Vamos calcular cada cofator:
  • C11 = (-1)^1+1 det 1 & 0 0 & 3 = 1 cdot (1 cdot 3 - 0 cdot 0) = 3
  • C12 = (-1)^1+2 det 0 & 0 -2 & 3 = -1 cdot (0 cdot 3 - 0 cdot (-2)) = 0
  • C13 = (-1)^1+3 det 0 & 1 -2 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-2)) = 2
  • C21 = (-1)^2+1 det -1 & 1 0 & 3 = -1 cdot (-1 cdot 3 - 1 cdot 0) = 3
  • C22 = (-1)^2+2 det -1 & 1 -2 & 3 = 1 cdot (-1 cdot 3 - 1 cdot (-2)) = -1
  • C23 = (-1)^2+3 det -1 & -1 -2 & 0 = -1 cdot (-1 cdot 0 - (-1) cdot (-2)) = -2
  • C31 = (-1)^3+1 det -1 & 1 1 & 0 = 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1
  • C32 = (-1)^3+2 det -1 & 1 0 & 0 = -1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 0
  • C33 = (-1)^3+3 det -1 & -1 0 & 1 = 1 cdot (-1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = -1
Então, a matriz dos cofatores é:
Cofatores = 3 & 0 & 2 3 & -1 & -2 -1 & 0 & -1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores:
Adjunta = 3 & 3 & -1 0 & -1 & 0 2 & -2 & -1

Passo 7

Com a adjunta e o determinante em mãos, podemos calcular a inversa de A usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adjunta
Substituindo os valores:
A^-1 = 1-1 cdot 3 & 3 & -1 0 & -1 & 0 2 & -2 & -1 = -3 & -3 & 1 0 & 1 & 0 -2 & 2 & 1

Passo 8

Agora, queremos encontrar o elemento a23 de A^-1 . Lembrando que a23 representa a segunda linha e terceira coluna da matriz inversa.
Olhemos para a matriz inversa que calculamos:
A^-1 = -3 & -3 & 1 0 & 1 & 0 -2 & 2 & 1
O elemento na segunda linha e terceira coluna é 0.

Resposta

A resposta correta é d. 0.

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