Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a equação dada como algébrica (polinomial ou não) ou transcendal. A equação fornecida é
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve raízes: raiz quadrada \sqrt{x} e raiz cúbica \sqrt[3]{x}.
  • Se estivermos trabalhando no contexto dos números reais, a presença de \sqrt{x} implica que, para a expressão estar definida no sentido usual, devemos ter x\ge 0. (Isso é só sobre domínio; a classificação pedida não depende essencialmente disso.)
  • A tarefa é decidir se essa equação é: (a) algébrica e polinomial, (b) algébrica mas não polinomial, ou (c) transcendal.

Passo 2

Vou explicar de forma didática o que significam essas categorias, usando uma linguagem simples.
  • Uma equação polinomial é uma equação em que a incógnita aparece apenas em potências inteiras não negativas e com coeficientes numéricos. Exemplo: \,x^3-2x+1=0 é polinomial.
  • Uma equação algébrica (mas não necessariamente polinomial na forma inicial) é uma equação em que a incógnita aparece só através de operações algébricas: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação (raízes racionais). Equações que envolvem potências racionais (como x^{1/2}, x^{1/3}) entram aqui. Um sinal claro de equação algébrica é que, frequentemente, com uma substituição apropriada das potências racionais, conseguimos transformar em uma equação polinomial em outra variável. Exemplo: \sqrt{x}+1=0 é algébrica (basta elevar ao quadrado) mesmo que não pareça polinomial à primeira vista.
  • Uma equação transcendal envolve funções transcendentes como \mathrm{e}^x, \ln x, \sin x, \cos x, etc. Exemplo: \mathrm{e}^x=2 é transcendal.
Resumo informal: se só aparecem raízes racionais e operações algébricas, a equação é algébrica; se aparece exponencial, log, seno, cosseno, etc., é transcendal.

Passo 3

Reescrevo a equação usando potências racionais, para ver a forma:
x^{1/2} + x^{1/3} = 1.
Para “limpar” os expoentes racionais, uma ideia prática é escolher um novo variável que seja uma potência de x com expoente igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações 1/2 e 1/3. Os denominadores são 2 e 3, cujo m.m.c. é 6. Então faço a substituição
t = x^{1/6}.
Agora expresso as potências originais em termos de t:
x^{1/2} = \left(x^{1/6}\right)^3 = t^3,
x^{1/3} = \left(x^{1/6}\right)^2 = t^2.

Passo 4

Substituindo na equação temos uma equação em t:
t^3 + t^2 = 1.
Colocando tudo num só lado:
t^3 + t^2 - 1 = 0.
Isto é uma equação polinomial em t (grau 3, coeficientes inteiros). Portanto t é raiz de um polinômio não nulo com coeficientes inteiros, ou seja, t é um número algébrico. Como t foi obtido por uma potência de x ( t=x^{1/6}), isso mostra que a equação original pode ser transformada, por substituição de variável, em uma equação polinomial.
Conclusão lógica: a equação original é algébrica, pois envolve apenas operações algébricas (potências racionais) e pode ser reduzida a um polinômio em uma nova variável.

Passo 5

Agora faço a distinção pedida entre “polinomial” e “não polinomial” aplicada à forma original em x.
  • A equação na sua forma dada, \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}=1, não é uma equação polinomial em x, porque aparecem expoentes fracionários ( 1/2 e 1/3); numa equação polinomial válida em x esses expoentes teriam de ser inteiros não negativos.
  • No entanto, como mostramos, por meio da substituição t=x^{1/6} ela se transforma numa equação polinomial em t. Isso caracteriza a equação como algébrica mas não polinomial na variável x.
Também é importante notar que a equação não envolve nenhuma função transcendental (expoencial, logarítmica, trigonométrica etc.), então ela não pode ser classificada como transcendal.

Resposta

Algébrica (não polinomial)

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