Classifique as seguintes equações em algébricas (polinomial ou não) ou transcendentais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique a equação dada como algébrica (polinomial ou não) ou transcendal. A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - A equação envolve raízes: raiz quadrada
e raiz cúbica . - Se estivermos trabalhando no contexto dos números reais, a presença de
implica que, para a expressão estar definida no sentido usual, devemos ter . (Isso é só sobre domínio; a classificação pedida não depende essencialmente disso.) - A tarefa é decidir se essa equação é: (a) algébrica e polinomial, (b) algébrica mas não polinomial, ou (c) transcendal.
Passo 2
Vou explicar de forma didática o que significam essas categorias, usando uma linguagem simples.
- Uma equação polinomial é uma equação em que a incógnita aparece apenas em potências inteiras não negativas e com coeficientes numéricos. Exemplo:
é polinomial. - Uma equação algébrica (mas não necessariamente polinomial na forma inicial) é uma equação em que a incógnita aparece só através de operações algébricas: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação (raízes racionais). Equações que envolvem potências racionais (como
, ) entram aqui. Um sinal claro de equação algébrica é que, frequentemente, com uma substituição apropriada das potências racionais, conseguimos transformar em uma equação polinomial em outra variável. Exemplo: é algébrica (basta elevar ao quadrado) mesmo que não pareça polinomial à primeira vista. - Uma equação transcendal envolve funções transcendentes como
, , , , etc. Exemplo: é transcendal.
Resumo informal: se só aparecem raízes racionais e operações algébricas, a equação é algébrica; se aparece exponencial, log, seno, cosseno, etc., é transcendal.
Passo 3
Reescrevo a equação usando potências racionais, para ver a forma:
Para “limpar” os expoentes racionais, uma ideia prática é escolher um novo variável que seja uma potência de
com expoente igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações
e
. Os denominadores são
e
, cujo m.m.c. é
. Então faço a substituição
Agora expresso as potências originais em termos de
:
Passo 4
Substituindo na equação temos uma equação em
:
Colocando tudo num só lado:
Isto é uma equação polinomial em
(grau
, coeficientes inteiros). Portanto
é raiz de um polinômio não nulo com coeficientes inteiros, ou seja,
é um número algébrico. Como
foi obtido por uma potência de
(
), isso mostra que a equação original pode ser transformada, por substituição de variável, em uma equação polinomial.
Conclusão lógica: a equação original é algébrica, pois envolve apenas operações algébricas (potências racionais) e pode ser reduzida a um polinômio em uma nova variável.
Passo 5
Agora faço a distinção pedida entre “polinomial” e “não polinomial” aplicada à forma original em
.
- A equação na sua forma dada,
, não é uma equação polinomial em , porque aparecem expoentes fracionários ( e ); numa equação polinomial válida em esses expoentes teriam de ser inteiros não negativos. - No entanto, como mostramos, por meio da substituição
ela se transforma numa equação polinomial em . Isso caracteriza a equação como algébrica mas não polinomial na variável .
Também é importante notar que a equação não envolve nenhuma função transcendental (expoencial, logarítmica, trigonométrica etc.), então ela não pode ser classificada como transcendal.
Resposta
Algébrica (não polinomial)