Cada um dos exercícios 17-20 dá uma integral sobre uma região no plano cartesiano. Esboce a região e calcule a integral.
(o planopv)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisa ser resolvida sobre uma região específica no plano cartesiano. A integral é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e como determinar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a
, que varia de
até
. Para cada valor de
, a integral interna em relação a
vai de
até
. Isso significa que para cada
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar essa região no plano
. Quando
, os limites de
vão de
até
. Quando
, os limites de
vão de
até
. Isso forma uma região triangular entre os pontos
,
e
. Basicamente, é um triângulo simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral. A função que estamos integrando é constante,
, então a integral dupla será simplesmente
vezes a área da região.
Passo 5
Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula da área de um triângulo:
. Aqui, a base é a distância entre
e
, que é
, e a altura é a distância entre
e
, que é
.
Passo 6
Agora, multiplicamos a área pela constante da função:
Resposta
O valor da integral é
.