Cada um dos exercícios 17-20 dá uma integral sobre uma região no plano cartesiano. Esboce a região e calcule a integral.
integral-2^0 integralv^-v 2 d p d v (o planopv)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla que precisa ser resolvida sobre uma região específica no plano cartesiano. A integral é integral-2^0 integralv^-v 2 , dp , dv. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e como determinar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a v, que varia de -2 até 0. Para cada valor de v, a integral interna em relação a p vai de v até -v. Isso significa que para cada v entre -2 e 0, p varia de v a -v.

Passo 3

Agora, vamos visualizar essa região no plano pv. Quando v = -2, os limites de p vão de -2 até 2. Quando v = 0, os limites de p vão de 0 até 0. Isso forma uma região triangular entre os pontos (-2, -2), (0, 0) e (2, -2). Basicamente, é um triângulo simétrico em relação ao eixo p.

Passo 4

Agora que entendemos a região, vamos calcular a integral. A função que estamos integrando é constante, 2, então a integral dupla será simplesmente 2 vezes a área da região.

Passo 5

Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula da área de um triângulo: Área = base times aÁ. Aqui, a base é a distância entre p = -2 e p = 2, que é 4, e a altura é a distância entre v = -2 e v = 0, que é 2.
Área = 4 times 22 = 82 = 4 Á

Passo 6

Agora, multiplicamos a área pela constante da função:
Integral = 2 times Área = 2 times 4 = 8 Á

Resposta

O valor da integral é 8.

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