Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{\ln (x)}{x} d x(0,6 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo da matéria é método de substituição (mudança de variável) em integração.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \ln(x),
pois vemos \ln(x) no numerador e x no denominador. Calculamos o diferencial:
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,du.
Mas, como du=\frac{1}{x}dx, podemos diretamente usar \,dx/x = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du.

Passo 4

A integral de u em relação a u é uma potência simples:
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x (isto é, u=\ln(x)), obtemos
\frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C.

Resposta

\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C.

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