(25 pontos) Seja
.
(a) (
pontos) Use a definição de derivada para calcular
.
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(a) (
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
- Usar a definição de derivada para encontrar
. - Obter a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Vamos aplicar a definição de derivada como limite do quociente incremental e depois usar a fórmula da reta tangente
onde
.
Passo 2
Aplicamos a definição de derivada em
:
Passo 3
Para calcular o limite, racionalizamos o numerador:
Fazendo
,
, logo
Passo 4
Calculamos
:
A inclinação da reta tangente é
e o ponto é
. Portanto, a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
Resposta
(a)
.
(b) A reta tangente em é
(b) A reta tangente em