(25 pontos) Seja f(x)=1-\sqrt{x}.
(a) ( \mathbf{1 5} pontos) Use a definição de derivada para calcular f^{\prime}(2).
(b) ( 10 pontos) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f em (2, f(2)).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = 1 - \sqrt{x}
e pede:
  1. Usar a definição de derivada para encontrar f'(2).
  2. Obter a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(2,f(2)\bigr).
    Vamos aplicar a definição de derivada como limite do quociente incremental e depois usar a fórmula da reta tangente
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde m = f'(x_0).

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em x=2:
f'(2) = \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\bigl(1-\sqrt{2+h}\bigr)-\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+h}}{h}.

Passo 3

Para calcular o limite, racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+h}}{h} \cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2+h}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+h}} = \frac{2 - (2+h)}{h\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2+h}\bigr)} = \frac{-h}{h\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2+h}\bigr)} = \frac{-1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+h}}.
Fazendo h\to 0, \sqrt{2+h}\to\sqrt{2}, logo
f'(2) = \lim_{h\to 0}\frac{-1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+h}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 4

Calculamos f(2):
f(2) = 1 - \sqrt{2}.
A inclinação da reta tangente é m = f'(2) = -\tfrac{1}{2\sqrt{2}} e o ponto é \bigl(2,\,1-\sqrt{2}\bigr). Portanto, a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - \bigl(1 - \sqrt{2}\bigr) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}\,(x - 2).

Resposta

(a) f'(2) = -\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}.
(b) A reta tangente em (2,\,1-\sqrt{2}) é
y - \bigl(1 - \sqrt{2}\bigr) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}\,(x - 2).

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