(
pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz real. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que exige verificar que é contínua e que ela muda de sinal em algum intervalo.
tem pelo menos uma raiz real. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que exige verificar que
Passo 2
Como
é um polinômio, ela é contínua em todo
. Logo, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário sempre que encontrarmos dois pontos em que
assuma sinais opostos.
Passo 3
Escolhemos dois pontos e avaliamos
:
— Em :
— Em
— Em
:
Calculando em denominador comum
:
logo
Passo 4
Como
e
e
é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
Resposta
A função
tem pelo menos uma raiz real em
.