( \mathbf{1 0} pontos) Considere a função f(x)=x-x^{3}-\frac{1}{5}. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função \displaystyle f(x)=x - x^{3} - \tfrac15
tem pelo menos uma raiz real. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que exige verificar que f é contínua e que ela muda de sinal em algum intervalo.

Passo 2

Como f(x)=x - x^{3} - \tfrac15 é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário sempre que encontrarmos dois pontos em que f assuma sinais opostos.

Passo 3

Escolhemos dois pontos e avaliamos f:
— Em x=0:
f(0)=0 - 0^{3} - \tfrac15 = -\tfrac15 < 0.
— Em x=\tfrac12:
f\bigl(\tfrac12\bigr) = \tfrac12 - \bigl(\tfrac12\bigr)^{3} - \tfrac15 = \tfrac12 - \tfrac18 - \tfrac15.
Calculando em denominador comum 40:
\tfrac12 = \tfrac{20}{40},\quad \tfrac18 = \tfrac{5}{40},\quad \tfrac15 = \tfrac{8}{40},
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f\bigl(\tfrac12\bigr) = \tfrac{20}{40} - \tfrac{5}{40} - \tfrac{8}{40} = \tfrac{7}{40} > 0.

Passo 4

Como f(0)<0 e f(\tfrac12)>0 e f é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe \xi\in\bigl(0,\tfrac12\bigr) tal que
f(\xi)=0.

Resposta

A função f(x)=x - x^{3} - \tfrac15 tem pelo menos uma raiz real em \bigl(0,\tfrac12\bigr).

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