( \mathbf{2 5}\) pontos) Seja \[f(x)= \begin{cases}a x-b, & \text { se } x<0 \\\\ 2+b, & \text { se } x=0 \\\ b x+a, & \text { se } x>0\end{cases}
(a) ( \mathbf{1 0}\] pontos) Determine \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
(b) ( 15 pontos) Determine o valor (ou valores) de a e b para que f seja contínua em 0 .

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes em torno de x=0\): \[f(x)= \begin{cases} a\,x - b, & x<0,\\\\ 2 + b, & x=0,\\\ b\,x + a, & x>0.
Queremos (a) os limites laterais em 0\] e (b) os valores de \(a e b que tornam f contínua em 0. Vamos usar a definição de limite lateral em funções piecewise e o critério de continuidade: f é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0).

Passo 2

Para \lim_{x\to0^-}f(x) usamos a expressão de f quando x<0: f(x)=a\,x-b. Mandando x\to0 nesse ramo, o termo a\,x some, sobrando
\lim_{x\to0^-}f(x) = -b.
Para \lim_{x\to0^+}f(x) usamos o ramo x>0: f(x)=b\,x+a. Fazendo x\to0, o termo b\,x some, ficando
\lim_{x\to0^+}f(x) = a.

Passo 3

Para garantir continuidade em 0, impomos
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0),
ou seja,
-b = 2 + b
e
a = 2 + b.
Da primeira equação segue -b = 2 + b\implies -2\,b = 2\implies b = -1. Substituindo em a = 2 + b
a = 2 + (-1) = 1.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x) = -b, \displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x) = a.
(b) Para f ser contínua em 0, deve-se ter a = 1 e b = -1.

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