Nos exercícios de 4 a 7 expresse a integral de superficie como uma integral dupla iterada utilizando uma projeção de S sobre a) o plano y z e b) o plano x z.
\iint_{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S, S é a parte no primeiro octante do gráfico de x^{2}+y^{2}=4 delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x+z=2

Passo 1

O enunciado pede para expressar a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS
onde S é a parte, no primeiro octante, do cilindro x^{2}+y^{2}=4 limitada pelos planos coordenados x=0,y=0,z=0 e pelo plano x+z=2.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície dada implicitamente pelo cilindro. Para resolver, vamos parametrizar S projetando-a sobre o plano yz (a) e sobre o plano xz (b), calcular o elemento de área dS em cada caso e montar a integral dupla iterada.

Passo 2

(a) Projeção sobre o plano yz.
  1. No cilindro x^{2}+y^{2}=4 tomamos
x = g(y)=\sqrt{4 - y^{2}},\quad y=y,\quad z=z,
com 0\le y\le2 e 0\le z\le 2 - x = 2 - \sqrt{4 - y^{2}}.
2. A parametrização é
\mathbf r(y,z)=\bigl(\sqrt{4 - y^{2}},\,y,\,z\bigr).
  1. Calculamos
\mathbf r_{y}=(g'(y),1,0),\quad g'(y)=-\frac{y}{\sqrt{4-y^{2}}}, \quad \mathbf r_{z}=(0,0,1).
Logo
\bigl\|\mathbf r_{y}\times\mathbf r_{z}\bigr\| =\sqrt{1+\bigl(g'(y)\bigr)^{2}} =\sqrt{1+\frac{y^{2}}{4-y^{2}}} =\frac{2}{\sqrt{4-y^{2}}}.
  1. Como x^{2}+y^{2}=4, temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=4+z^{2}.
  2. Portanto a integral fica
\int_{y=0}^{2} \int_{z=0}^{\,2-\sqrt{4-y^{2}}} \bigl(4+z^{2}\bigr)\,\frac{2}{\sqrt{4-y^{2}}}\;dz\,dy.

Passo 3

(b) Projeção sobre o plano xz.
  1. Agora escrevemos
y = h(x)=\sqrt{4 - x^{2}},\quad x=x,\quad z=z,
com 0\le x\le2 e 0\le z\le 2 - x.
2. A parametrização é
\mathbf r(x,z)=\bigl(x,\,\sqrt{4-x^{2}},\,z\bigr).
  1. Calculamos
\mathbf r_{x}=(1,h'(x),0),\quad h'(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}, \quad \mathbf r_{z}=(0,0,1),
e
\bigl\|\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{z}\bigr\| =\sqrt{1+\bigl(h'(x)\bigr)^{2}} =\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}.
  1. De novo x^{2}+y^{2}=4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4+z^{2}.
  2. Logo a integral iterada é
\int_{x=0}^{2} \int_{z=0}^{\,2-x} \bigl(4+z^{2}\bigr)\,\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dz\,dx.

Resposta

(a) \int_{y=0}^{2} \int_{z=0}^{\,2-\sqrt{4-y^{2}}} \bigl(4+z^{2}\bigr)\,\frac{2}{\sqrt{4-y^{2}}}\;dz\,dy.
(b) \int_{x=0}^{2} \int_{z=0}^{\,2-x} \bigl(4+z^{2}\bigr)\,\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dz\,dx.

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