Nos exercícios de 4 a 7 expresse a integral de superficie como uma integral dupla iterada utilizando uma projeção de S sobre a) o plano y z e b) o plano x z. \iint_{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S, S é a parte no primeiro octante do gráfico de x^{2}+y^{2}=4 delimitada pelos planos coordenados e pelo plano x+z=2
Passo 1
O enunciado pede para expressar a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dS
onde S é a parte, no primeiro octante, do cilindro x^{2}+y^{2}=4 limitada pelos planos coordenados x=0,y=0,z=0 e pelo plano x+z=2.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície dada implicitamente pelo cilindro. Para resolver, vamos parametrizar S projetando-a sobre o plano yz (a) e sobre o plano xz (b), calcular o elemento de área dS em cada caso e montar a integral dupla iterada.
Passo 2
(a) Projeção sobre o plano yz.
No cilindro x^{2}+y^{2}=4 tomamos
x = g(y)=\sqrt{4 - y^{2}},\quad y=y,\quad z=z,
com 0\le y\le2 e 0\le z\le 2 - x = 2 - \sqrt{4 - y^{2}}.
2. A parametrização é