Nos exercícios 10 a 15 determine o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superficie \delta suposta orientada para cima por vetores normais unitários.
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+2 z \vec{k}, \delta é a porção da superfície z=1-x^{2}-y^{2} acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec F(x,y,z)=x\vec i+y\vec j+2z\vec k através da porção da superfície dada por z=1-x^2-y^2 acima do plano z=0, orientada para cima. Vamos usar a fórmula para gráfico de função z=f(x,y):
\iint_{\delta}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}\vec F\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)\cdot\bigl(-f_x,-f_y,1\bigr)\,dA.

Passo 2

Escrevendo f(x,y)=1-x^2-y^2, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=-2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y.
O vetor normal orientado para cima (não unitário) é
(-f_x,-f_y,1)=(2x,2y,1).

Passo 3

Substituindo \vec F(x,y,z) com z=f(x,y) e fazendo o produto escalar:
\vec F\bigl(x,y,1-x^2-y^2\bigr)=(x,y,2(1-x^2-y^2)),
\vec F\cdot(2x,2y,1) =2x^2+2y^2+2(1-x^2-y^2) =2.

Passo 4

O domínio D no plano xy é o disco x^2+y^2\le1. Assim
\iint_{\delta}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}2\,dA =2\iint_{D}dA.
Em coordenadas polares, dA=r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi.

Passo 5

Calculando a integral:
2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta =2\int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac{r^2}{2}\Bigr]_{0}^{1}d\theta =2\int_{0}^{2\pi}\tfrac12\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta =2\pi.

Resposta

O fluxo de \vec F através de \delta é 2\pi.

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