O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?
R: (a) reduz por fator 15,6; (b) 243.
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a frequência angular
de um oscilador torsional (roda catarina) se todas as suas dimensões lineares forem reduzidas a um terço, mantendo-se a mesma densidade e a mesma constante de torção
. Vamos usar: relação entre massa e volume, escala do momento de inércia e fórmula da frequência angular de um oscilador torsional.
Passo 2
Se reduzirmos todas as dimensões lineares por
e a densidade
permanece constante, o volume escala como
. Como
, a nova massa
vale
Passo 3
O momento de inércia de uma roda de raio
e massa
é da forma
. Com
e
, o novo momento de inércia é
Passo 4
Para um oscilador torsional, a frequência angular é
Mantendo
e substituindo
por
, vem
Passo 5
Logo, a frequência angular da roda menor aumenta por um fator
Passo 6
Para que a roda reduzida oscile com a frequência original
, precisamos escolher uma nova constante de torção
tal que
Ao quadrado e isolando
:
Portanto, a constante de torção deve ser reduzida por um fator
.
Resposta
(a) A frequência angular aumenta por um fator
.
(b) A constante de torção deve ser reduzida por um fator .
(b) A constante de torção deve ser reduzida por um fator