R O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?
R: (a) reduz por fator 15,6; (b) 243.

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a frequência angular \omega de um oscilador torsional (roda catarina) se todas as suas dimensões lineares forem reduzidas a um terço, mantendo-se a mesma densidade e a mesma constante de torção \kappa. Vamos usar: relação entre massa e volume, escala do momento de inércia e fórmula da frequência angular de um oscilador torsional.

Passo 2

Se reduzirmos todas as dimensões lineares por 1/3 e a densidade \rho permanece constante, o volume escala como (1/3)^3=1/27. Como m=\rho V, a nova massa m' vale
m'=\frac{m}{27}.

Passo 3

O momento de inércia de uma roda de raio R e massa m é da forma I\sim mR^2. Com R' = R/3 e m'=m/27, o novo momento de inércia é
I' = m'\,(R')^2 = \frac{m}{27}\,\frac{R^2}{9} = \frac{mR^2}{243} = \frac{I}{243}.

Passo 4

Para um oscilador torsional, a frequência angular é
\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}\!.
Mantendo \kappa e substituindo I por I/243, vem
\omega' = \sqrt{\frac{\kappa}{I'}} = \sqrt{\frac{\kappa}{I/243}} = \sqrt{243}\,\sqrt{\frac{\kappa}{I}} = \sqrt{243}\,\omega.

Passo 5

Logo, a frequência angular da roda menor aumenta por um fator
\sqrt{243}\approx15{,}6.

Passo 6

Para que a roda reduzida oscile com a frequência original \omega, precisamos escolher uma nova constante de torção \kappa' tal que
\omega = \sqrt{\frac{\kappa'}{I'}}.
Ao quadrado e isolando \kappa':
\kappa' = \omega^2\,I' = \left(\frac{\kappa}{I}\right)I' = \kappa\,\frac{I'}{I} = \frac{\kappa}{243}.
Portanto, a constante de torção deve ser reduzida por um fator 243.

Resposta

(a) A frequência angular aumenta por um fator \sqrt{243}\approx15{,}6.
(b) A constante de torção deve ser reduzida por um fator 243.

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