( 25 pts) Entre homens adultos sadios, a concentração de ferro sérico segue uma distribuição normal com média 120 microgramas para 100 ml e desvio padrão 15 microgramas para 100 ml . Calcule a probabilidade que uma amostra de 50 homens resulte em nível médio de ferro sérico entre 115 e 125 microgramas por 100 ml .

Passo 1

O enunciado diz que, entre homens adultos sadios, a concentração sérica de ferro X é distribuída normalmente com média \mu=120 μg/100 mL e desvio padrão \sigma=15 μg/100 mL. Vamos tomar uma amostra aleatória de tamanho n=50 e calcular a probabilidade de a média amostral \bar X cair entre 115 e 125\mug/100 mL. Para isso, vamos usar a distribuição da média de uma amostra de uma população normal.

Passo 2

Quando a população é normal, a média amostral \bar X também é normal, com
\mathbb{E}(\bar X)=\mu
e
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Calculando o desvio padrão de \bar X:
\sigma_{\bar X} =\frac{15}{\sqrt{50}} \approx\frac{15}{7{,}071} \approx2{,}12.

Passo 4

Padronizamos os limites 115 e 125:
z_1=\frac{115-120}{2{,}12}\approx-2{,}36,
z_2=\frac{125-120}{2{,}12}\approx+2{,}36.

Passo 5

A probabilidade desejada é
P(115\le\bar X\le125) =P(z_1\le Z\le z_2) =\Phi(2{,}36)-\Phi(-2{,}36).
Como \Phi(-2{,}36)=1-\Phi(2{,}36), temos
P=2\,\Phi(2{,}36)-1.
Pela tabela da normal padrão, \Phi(2{,}36)\approx0{,}9909. Logo
P\approx2\times0{,}9909-1=0{,}9818.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}982 (ou 98,2 %).

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