Dada a função de distribuição acumulada
F(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text { se } & x<1 \\\\ 0,15 & \text { se } & 1 \leq x<2 \\\\ 0,25 & \text { se } & 2 \leq x<3 \\\\ 0,6 & \text { se } & 3 \leq x<4 \\\\ 0,85 & \text { se } & 4 \leq x<5 \\\\ 0,95 & \text { se } & 5 \leq x<6 \\\\ 1 & \text { se } & 6 \leq x \end{array}\right.
(a) (1.0) Calcule a função de probabilidade da variável X cuja f.d.a. é F(\cdot).
(b) (1.0) Determine também as seguintes probabilidades:
i. p(1 \leq X<2)
ii. P(1<X \leq 2)
iii. P(X \leq 5)
iv. P(X>3)

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada de uma variável discreta X, definindo faixas em que F(x) é constante. Para encontrar a função de probabilidade usamos que, para todo ponto x onde há salto em F,
p(x)=P(X=x)=F(x)-\lim_{t\to x^-}F(t).
Em seguida calculamos as probabilidades solicitadas somando esses valores ou usando diretamente F.

Passo 2

Calculando os saltos em cada inteiro de 1 a 6:
\begin{aligned} p(1)&=F(1)-\lim_{t\to1^-}F(t)=0{,}15-0=0{,}15,\\\ p(2)&=F(2)-\lim_{t\to2^-}F(t)=0{,}25-0{,}15=0{,}10,\\\ p(3)&=F(3)-\lim_{t\to3^-}F(t)=0{,}60-0{,}25=0{,}35,\\\ p(4)&=F(4)-\lim_{t\to4^-}F(t)=0{,}85-0{,}60=0{,}25,\\\ p(5)&=F(5)-\lim_{t\to5^-}F(t)=0{,}95-0{,}85=0{,}10,\\\ p(6)&=F(6)-\lim_{t\to6^-}F(t)=1-0{,}95=0{,}05. \end{aligned}

Passo 3

Para i.\quad
P(1\le X<2)=P(X=1)=p(1)=0{,}15.

Passo 4

Para ii.\quad
P(1< X\le2)=P(X=2)=p(2)=0{,}10.

Passo 5

Para iii.\quad
P(X\le5)=F(5)=0{,}95.

Passo 6

Para iv.\quad
P(X>3)=1-P(X\le3)=1-F(3)=1-0{,}60=0{,}40.

Resposta

(a) p(1)=0{,}15,\;p(2)=0{,}10,\;p(3)=0{,}35,\;p(4)=0{,}25,\;p(5)=0{,}10,\;p(6)=0{,}05. (b)
i. P(1\le X<2)=0{,}15
ii. P(1< X\le2)=0{,}10
iii. P(X\le5)=0{,}95
iv. P(X>3)=0{,}40

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