(2.0) Seja X variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
X=x -3 6 9
P(X=x) 1 / 6 1 / 2 1 / 3
Calcule a esperança e a variância de X.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com valores possíveis -3, 6 e 9 e respectivas probabilidades \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{3}. Para resolver, vamos usar as fórmulas de esperança e variância de uma distribuição discreta:
\mathbb{E}[X] = \sum_i x_i\,P(X=x_i), \quad \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2.

Passo 2

Calculando a esperança:
\mathbb{E}[X] = (-3)\cdot\frac{1}{6} \;+\; 6\cdot\frac{1}{2} \;+\; 9\cdot\frac{1}{3} = -\frac{3}{6} + 3 + 3 = -\frac{1}{2} + 6 = \frac{11}{2}.

Passo 3

Calculando o segundo momento \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2] = (-3)^2\cdot\frac{1}{6} \;+\; 6^2\cdot\frac{1}{2} \;+\; 9^2\cdot\frac{1}{3} = \frac{9}{6} + 18 + 27 = \frac{3}{2} + 45 = \frac{93}{2}.

Passo 4

Aplicando a definição de variância:
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 = \frac{93}{2} - \Bigl(\frac{11}{2}\Bigr)^{2} = \frac{93}{2} - \frac{121}{4} = \frac{186 - 121}{4} = \frac{65}{4}.

Resposta

\mathbb{E}[X] = \tfrac{11}{2}. \mathrm{Var}(X) = \tfrac{65}{4}.

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