( 25 pts) Responda as questões:
a) Quais são os erros envolvidos nos testes de hipóteses? Explique detalhadamente
b) Se reduzirmos em demasia a probabilidade de um dos tipos de erro, a probabilidade do outro aumentará. Como podemos reduzir, simultaneamente, a probabilidade de cometer os dois tipos de erros?

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta os dois tipos de erro em testes de hipóteses (erro de Tipo I e erro de Tipo II) e depois explique como, dado o trade‐off entre eles (se eu reduzo muito a probabilidade de um, aumento a do outro), podemos diminuir simultaneamente ambas as probabilidades. O conteúdo aqui é Teste de Hipóteses em Estatística, usando parâmetros como nível de significância \alpha, poder do teste 1-\beta e o tamanho amostral n.

Passo 2

O erro de Tipo I ocorre quando rejeitamos a hipótese nula H_0 sendo ela verdadeira. Esse erro tem probabilidade igual ao nível de significância do teste, que costuma ser denotado por \alpha. Em outras palavras,
\alpha = P\bigl(\text{rejeitar }H_0 \mid H_0 \text{ verdadeira}\bigr).
Escolher um \alpha pequeno significa que ficamos mais cautelosos ao rejeitar H_0, mas isso pode ter impacto sobre o outro tipo de erro.

Passo 3

O erro de Tipo II ocorre quando aceitamos (ou falhamos em rejeitar) a hipótese nula H_0 sendo a hipótese alternativa H_1 verdadeira. Denotamos sua probabilidade por \beta:
\beta = P\bigl(\text{falhar em rejeitar }H_0 \mid H_1 \text{ verdadeira}\bigr).
O poder do teste é 1-\beta e mede nossa capacidade de detectar um efeito ou diferença quando ele realmente existe.

Passo 4

Há um trade‐off natural entre \alpha e \beta: se reduzimos muito \alpha (ficamos muito rigorosos para rejeitar H_0), o teste tende a rejeitar H_0 com menos frequência mesmo quando H_1 é verdadeira, fazendo \beta aumentar. Analogamente, se quisermos reduzir \beta mantendo tudo o mais igual, geralmente precisamos aumentar \alpha. Isso decorre da forma como as curvas de densidade da estatística de teste se sobrepõem sob H_0 e H_1.

Passo 5

Para diminuir simultaneamente \alpha e \beta, precisamos aumentar a discriminação do teste, o que se consegue principalmente aumentando o tamanho amostral n. Com mais dados, as distribuições da estatística de teste sob H_0 e sob H_1 se separam melhor, de modo que um mesmo valor de corte leva a uma \alpha pequena e a um \beta também pequeno. Além disso, reduzir a variabilidade dos dados (ou usar estimadores mais eficientes) e escolher um teste mais poderoso (por exemplo, paramétrico quando as suposições são atendidas) também aumenta o poder sem inflar \alpha.

Resposta

a) Os erros em teste de hipóteses são:
– Erro de Tipo I: rejeitar H_0 quando ela é verdadeira, com probabilidade \alpha.
– Erro de Tipo II: não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira, com probabilidade \beta.
b) Para reduzir simultaneamente \alpha e \beta devemos aumentar o tamanho da amostra n (e/ou diminuir a variabilidade dos dados e escolher testes mais potentes), pois isso faz as distribuições sob H_0 e H_1 ficarem mais separadas, baixando ambos os erros ao mesmo tempo.

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