(0.25 pts) Obtenha uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z
aproximando o integrando por um polinômio de grau 2. Utilize os pontos de interpolação z=0, z=0.5 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1} e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz
por um polinômio de grau 2 interpolador nos pontos z=0, z=0{,}5 e z=1. Vamos usar o método de Lagrange para obter o polinômio P_{2}(z) e depois calcular \int_{0}^{1}P_{2}(z)\,dz.

Passo 2

Calculamos os valores de f(z)=e^{-z^{2}/2} nos três nós:
f(0)=e^{0}=1,\quad f(0{,}5)=e^{-\frac{(0{,}5)^{2}}{2}}=e^{-0{,}125},\quad f(1)=e^{-\frac{1^{2}}{2}}=e^{-0{,}5}.

Passo 3

Escrevemos os polinômios básicos de Lagrange em [0,1]:
L_{0}(z)=\frac{(z-0{,}5)(z-1)}{(0-0{,}5)(0-1)}=2\,(z-0{,}5)(z-1),
L_{1}(z)=\frac{z(z-1)}{(0{,}5-0)(0{,}5-1)}=-4\,z(z-1),
L_{2}(z)=\frac{z(z-0{,}5)}{(1-0)(1-0{,}5)}=2\,z(z-0{,}5).
O polinômio interpolador é
P_{2}(z)=f(0)\,L_{0}(z)+f(0{,}5)\,L_{1}(z)+f(1)\,L_{2}(z).

Passo 4

Calculamos as integrais dos L_{i} em [0,1]:
\int_{0}^{1}L_{0}(z)\,dz =\int_{0}^{1}2(z^{2}-1{,}5z+0{,}5)\,dz =1/6,
\int_{0}^{1}L_{1}(z)\,dz =\int_{0}^{1}-4(z^{2}-z)\,dz =2/3,
\int_{0}^{1}L_{2}(z)\,dz =\int_{0}^{1}2(z^{2}-0{,}5z)\,dz =1/6.
Verifica-se que 1/6+2/3+1/6=1, como esperado.

Passo 5

Aproximamos a integral original por
\int_{0}^{1}P_{2}(z)\,dz =f(0)\,\frac{1}{6} +f(0{,}5)\,\frac{2}{3} +f(1)\,\frac{1}{6} = \frac{1}{6} +\frac{2}{3}\,e^{-0{,}125} +\frac{1}{6}\,e^{-0{,}5}.
Substituindo valores numéricos e^{-0{,}125}\approx0{,}882497 e e^{-0{,}5}\approx0{,}606531, obtemos
\int_{0}^{1}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz \approx0{,}166667+0{,}588331+0{,}101088=0{,}856086\approx0{,}8561.

Resposta

\int_{0}^{1}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz \approx \frac{1}{6}+\frac{2}{3}e^{-0{,}125}+\frac{1}{6}e^{-0{,}5} \approx0{,}8561.

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