Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição v=\frac{y}{x}.
y^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+2 y^{2}}{x y}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
y'(x)=\frac{x^{2}+2\,y^{2}}{x\,y}
é expressável por uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver usando a mudança de variável
v=\frac{y}{x}.
Para isso vamos usar o conceito de função homogênea (verificar f(tx,ty)=f(x,y)) e a técnica de reduzir a EDO à forma separável com y=v\,x.

Passo 2

Definimos a função do lado direito como
f(x,y)=\frac{x^{2}+2\,y^{2}}{x\,y}.
Para testar homogeneidade, substituímos (x,y)\mapsto(t\,x,t\,y):
f(t\,x,t\,y) =\frac{(t\,x)^{2}+2\,(t\,y)^{2}}{(t\,x)(t\,y)} =\frac{t^{2}(x^{2}+2\,y^{2})}{t^{2}\,x\,y} =\frac{x^{2}+2\,y^{2}}{x\,y} =f(x,y).
Logo f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição y=v\,x temos
y'=v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em
y'= \frac{x^{2}+2\,y^{2}}{x\,y}
vem
v + x\,\frac{dv}{dx} =\frac{x^{2}+2\,(v\,x)^{2}}{x\,(v\,x)} =\frac{x^{2}(1+2\,v^{2})}{v\,x^{2}} =\frac{1+2\,v^{2}}{v}.

Passo 4

Isolamos o termo com dv/dx:
x\,\frac{dv}{dx} =\frac{1+2\,v^{2}}{v}-v =\frac{1+2\,v^{2}-v^{2}}{v} =\frac{1+v^{2}}{v}.
Isso dá uma equação separável:
\frac{v}{1+v^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{v}{1+v^{2}}\,dv =\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+v^{2}\bigr) =\ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
1+v^{2} =C\,x^{2}, \quad C=e^{2C_{1}}>0.
Voltando a v=y/x:
1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} =C\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} =C\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=C\,x^{4}.

Resposta

A família geral de soluções é dada implicitamente por
x^{2}+y^{2}=C\,x^{4},
onde C é constante arbitrária.

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