Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é expressável por uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver usando a mudança de variável
Para isso vamos usar o conceito de função homogênea (verificar
) e a técnica de reduzir a EDO à forma separável com
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Passo 2
Definimos a função do lado direito como
Para testar homogeneidade, substituímos
:
Logo
é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazendo a substituição
temos
Substituindo em
vem
Passo 4
Isolamos o termo com
:
Isso dá uma equação separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
Voltando a
:
Resposta
A família geral de soluções é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.