Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Encontramos a solução da equação homogênea
propondo
. A equação característica é
que fatoriza em
. Logo,
e
, e
Passo 3
Para obter uma solução particular
ao lado do termo
, tentamos um polinômio de grau igual ao do não homogêneo. Como
é um polinômio de grau 1, escolhemos
Então
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original:
Isso é
Comparando coeficientes em
e termo constante:
- Coeficiente de :
⇒
.
- Termo independente: ⇒
⇒
.
Logo
- Coeficiente de
- Termo independente:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é