Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y' - 6y = 2x
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo 2x.

Passo 2

Encontramos a solução da equação homogênea
y'' + y' - 6y = 0
propondo y = e^{rx}. A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
que fatoriza em (r+3)(r-2)=0. Logo, r_1 = 2 e r_2 = -3, e
y_{\text{h}} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_{\text{p}} ao lado do termo 2x, tentamos um polinômio de grau igual ao do não homogêneo. Como 2x é um polinômio de grau 1, escolhemos
y_{\text{p}} = A x + B.
Então
y_{\text{p}}' = A, \quad y_{\text{p}}'' = 0.

Passo 4

Substituindo y_{\text{p}}, y_{\text{p}}' e y_{\text{p}}'' na equação original:
0 + A - 6\bigl(Ax + B\bigr) = 2x.
Isso é
A - 6Ax - 6B = 2x.
Comparando coeficientes em x e termo constante:
- Coeficiente de x: -6A = 2 A = -\tfrac{1}{3}.
- Termo independente: A - 6B = 0 -\tfrac{1}{3} - 6B = 0 B = -\tfrac{1}{18}.
Logo
y_{\text{p}} = -\tfrac{1}{3}\,x - \tfrac{1}{18}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_{\text{h}}(x) + y_{\text{p}}(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} - \tfrac{1}{3}\,x - \tfrac{1}{18}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} - \frac{1}{3}\,x - \frac{1}{18}.

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