Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 6
pela técnica de coeficientes a determinar. Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular para o termo não homogêneo constante.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja fatoração é (r+1)(r+2)=0. Logo r=-1 e r=-2 e a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p do tipo coeficientes a determinar, notamos que o termo à direita é constante. Assumimos
y_p(x) = A,
onde A é constante. Então y_p' = 0 e y_p'' = 0. Substituindo na EDO original:
0 + 3\cdot0 + 2A = 6
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2A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A = 3.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 3.

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