Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição v=\frac{y}{x}.
y^{\prime}(x)=1+\frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)=1+\frac{y}{x}
e pede para mostrar que ela se reduz a uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver pela substituição v=\frac{y}{x}. O conteúdo aqui é reconhecer homogeneidade e usar a troca de variável y=v\,x para obter uma equação separável.

Passo 2

Definimos
F(x,y)=1+\frac{y}{x}.
Para verificar que F é homogênea de grau zero, basta notar que se substituirmos (x,y) por (t\,x,t\,y), obtemos
F(t\,x,t\,y)=1+\frac{t\,y}{t\,x}=1+\frac{y}{x}=F(x,y),
logo F depende apenas da razão y/x.

Passo 3

Fazemos a troca y=v\,x. Então
y'=v + x\frac{dv}{dx},
pois derivando y=v(x)\,x pelo produto obtemos esse resultado.

Passo 4

Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} =1+\frac{y}{x} =1+v.
Logo
x\frac{dv}{dx}=1,
que é uma equação separável em v e x.

Passo 5

Separamos e integramos:
\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad dv=\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int dv=\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad v=\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 6

Voltando a y, temos
\frac{y}{x}=v=\ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad y=x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Resposta

y(x)=x\ln\lvert x\rvert + C\,x,
que é a família geral de soluções da equação dada.

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