Em cada item, mostre que a equação diferencial pode ser escrita em termos de uma função homogênea de grau zero e encontre uma família de soluções com a substituição
.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para mostrar que ela se reduz a uma função homogênea de grau zero e, em seguida, resolver pela substituição
. O conteúdo aqui é reconhecer homogeneidade e usar a troca de variável
para obter uma equação separável.
Passo 2
Definimos
Para verificar que
é homogênea de grau zero, basta notar que se substituirmos
por
, obtemos
logo
depende apenas da razão
.
Passo 3
Fazemos a troca
. Então
pois derivando
pelo produto obtemos esse resultado.
Passo 4
Substituindo na equação original:
Logo
que é uma equação separável em
e
.
Passo 5
Separamos e integramos:
Passo 6
Voltando a
, temos
Resposta
que é a família geral de soluções da equação dada.