( ( 1,25 pts) A taxa de variação temporal de uma população P de jacarés em um pântano é proporcional ao quadrado de P. O pântano continha uma dúzia de jacarés em 1988, duas dúzias em 1998. Quando haverá quatro dúzias de jacarés no pântano?

Passo 1

Resumimos o enunciado: a população de jacarés P(t) satisfaz dPdt=kP^2, sabemos que em 1988 (t=0) havia 12 jacarés e em 1998 (t=10) havia 24. Queremos saber em que ano P(t)=48. O conteúdo usado aqui é equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e separamos as variáveis. A ideia de variáveis separáveis é colocar todos os termos em P de um lado e todos os termos em t do outro:
integral dPP^2=integral k,dt

Passo 3

Integramos e obtemos a solução geral. Fazendo a integral temos
-1P=kt+C
e isolando 1/P fica
1P=-kt+C'

Passo 4

Usamos a condição inicial em t=0, P(0)=12, para achar a constante. Substituindo em -1/P=kt+C obtemos
-112=0+Cimplies C=-112,
portanto
1P=112-kt

Passo 5

Para encontrar k usamos P(10)=24:
124=112-kcdot10implies10k=112-124=124implies k=1240

Passo 6

Finalmente, para P=48 resolvemos
148=112-1240t
Multiplicando por 240:
5=20-timplies t=15 anos após 1988ó

Passo 7

Isso significa que o ano é 1988+15.

Resposta

No ano de 2003.

Exercícios relacionados