( 1,25 pts) A taxa de variação temporal de uma população
de jacarés em um pântano é proporcional ao quadrado de
. O pântano continha uma dúzia de jacarés em 1988, duas dúzias em 1998. Quando haverá quatro dúzias de jacarés no pântano?
Passo 1
Resumimos o enunciado: a população de jacarés P(t) satisfaz
, sabemos que em 1988 (t=0) havia 12 jacarés e em 1998 (t=10) havia 24. Queremos saber em que ano P(t)=48. O conteúdo usado aqui é equação diferencial de variáveis separáveis.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial e separamos as variáveis. A ideia de variáveis separáveis é colocar todos os termos em P de um lado e todos os termos em t do outro:
Passo 3
Integramos e obtemos a solução geral. Fazendo a integral temos
e isolando
fica
Passo 4
Usamos a condição inicial em t=0, P(0)=12, para achar a constante. Substituindo em
obtemos
portanto
Passo 5
Para encontrar k usamos P(10)=24:
Passo 6
Finalmente, para P=48 resolvemos
Multiplicando por 240:
Passo 7
Isso significa que o ano é 1988+15.
Resposta
No ano de 2003.