Uma placa fina de grande área é colocada a meia distância entre duas superfícies planas paralelas, distanciadas de 4 cm , entre as quais existe um óleo de viscosidade \mu= 1,0 \mathrm{~N} . \mathrm{s} . \mathrm{m}^{-2}. A placa plana é puxada a velocidade constante de \(0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Substituindo o óleo por outro de viscosidade \(\mu_{2}\), observa-se que para a outra posição da placa plana (paralela as superfícies, mas não mais equidistante) pode-se manter a mesma velocidade de 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com a mesma força de arraste. Se isso ocorre com a placa colocada a 1 cm de uma das superfícies, qual o valor da viscosidade \mu_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá uma placa plana muito extensa colocada entre duas superfícies paralelas separadas por 0,04\\ \mathrm{m}. Inicialmente a placa está a meia distância entre as superfícies (ou seja, equidistante) e é puxada com velocidade constante 0,3\\ \mathrm{m/s}. O fluido entre as superfícies tem viscosidade \mu=1,0\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}. Depois troca-se o óleo por outro de viscosidade \mu_{2} e coloca-se a placa paralela às superfícies, agora a 0,01\\ \mathrm{m} de uma das superfícies (logo 0,03\\ \mathrm{m} da outra). Observa-se que, com essa nova viscosidade e essa nova posição, a mesma força de arraste mantém a mesma velocidade 0,3\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede: encontrar o valor de \mu_{2}, dado que a força de arraste é a mesma nas duas situações.
Informações relevantes listadas:

\bullet Distância entre as superfícies: 0,04\\ \mathrm{m}.
\bullet Posição inicial: equidistante \Rightarrow espaços de 0,02\\ \mathrm{m} em cada lado da placa.
\bullet Velocidade da placa: U=0,3\\ \mathrm{m/s} (mesma nas duas situações).
\bullet Viscosidade inicial: \mu=1,0\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}.
\bullet Nova posição: 0,01\\ \mathrm{m} de uma superfície e 0,03\\ \mathrm{m} da outra.
\bullet Mesma força de arraste nas duas situações.

A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceito físico usado (explicado devagar): quando uma placa grande se move paralelamente a superfícies próximas, o fluido entre placa e cada superfície sofre cisalhamento. A tensão de cisalhamento (força por unidade de área) em um fluido newtoniano é dada por
\tau = \mu \frac{du}{dy},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}}), \mu é a viscosidade do fluido (em \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}), u é a velocidade do fluido paralela às superfícies e y é a direção perpendicular às superfícies. Para um escoamento simples entre placas paralelas com velocidade da placa U e camada de espessura h (distância entre placa e parede), assume-se um gradiente de velocidade aproximadamente linear e então
\frac{du}{dy}\approx \frac{U-0}{h}=\frac{U}{h}.
Portanto a tensão é
\tau = \mu \frac{U}{h}.
A força de arraste numa face é essa tensão multiplicada pela área A da placa:
F_{\text{face}} = \tau A = \mu \frac{U}{h}A.
Como há fluido em ambos os lados da placa, as contribuições somam, então a força total é a soma das forças dos dois lados.

Passo 3

Escrevendo a força total nas duas configurações:
Configuração inicial (placa equidistante): os dois espaços valem h_{1}=h_{2}=0,02\\ \mathrm{m}. A força total F é
F = \mu A U\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}\right).
Configuração final (nova viscosidade \mu_{2} e posição a 0,01\\ \mathrm{m} de uma superfície): h'_{1}=0,01\\ \mathrm{m} e h'_{2}=0,03\\ \mathrm{m}. A nova força F' é
F' = \mu_{2} A U\left(\frac{1}{h'_{1}}+\frac{1}{h'_{2}}\right).
Sabemos do enunciado que F'=F para a mesma U e mesma área A.

Passo 4

Calculemos explicitamente os recíprocos das distâncias para usar nos cálculos numéricos simples:
Para a configuração inicial:
\frac{1}{h_{1}}=\frac{1}{0,02}=50\quad\text{e}\quad \frac{1}{h_{2}}=50,
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\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}=50+50=100.
Para a configuração final:
\frac{1}{h'_{1}}=\frac{1}{0,01}=100\quad\text{e}\quad \frac{1}{h'_{2}}=\frac{1}{0,03}\approx 33{,}333\ldots
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\frac{1}{h'_{1}}+\frac{1}{h'_{2}}=100+33{,}333\ldots=133{,}333\ldots=\frac{400}{3}.

Passo 5

Agora igualamos F e F'. Usando as expressões do Passo 3 e os somatórios do Passo 4:
\mu A U \cdot 100 = \mu_{2} A U \cdot \frac{400}{3}.
Podemos simplificar: A e U aparecem em ambos os lados e são diferentes de zero, então cancelam. Resta uma equação para \mu_{2}:
\mu \cdot 100 = \mu_{2} \cdot \frac{400}{3}.

Passo 6

Resolva algebricamente para \mu_{2}:
\mu_{2} = \mu \cdot 100 \cdot \frac{3}{400} = \mu \cdot \frac{300}{400} = \mu \cdot \frac{3}{4}.
Portanto \mu_{2}=\dfrac{3}{4}\mu.

Passo 7

Substitua o valor numérico \mu=1{,}0\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}:
\mu_{2} = \frac{3}{4}\times 1{,}0 = 0{,}75\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}.
Isso significa que o segundo óleo precisa ter viscosidade menor (75% da original) para que, estando a placa deslocada para perto de uma parede, a mesma força produza a mesma velocidade.

Resposta

\mu_{2}=0,75\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}

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