Uma placa fina de grande área é colocada a meia distância entre duas superfícies planas paralelas, distanciadas de 4 cm , entre as quais existe um óleo de viscosidade
. A placa plana é puxada a velocidade constante de \(0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Substituindo o óleo por outro de viscosidade \(\mu_{2}\), observa-se que para a outra posição da placa plana (paralela as superfícies, mas não mais equidistante) pode-se manter a mesma velocidade de
, com a mesma força de arraste. Se isso ocorre com a placa colocada a 1 cm de uma das superfícies, qual o valor da viscosidade
?
a velocidade constante de \(0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Substituindo o óleo por outro de viscosidade \(\mu_{2}\), observa-se que para a outra posição da placa plana (paralela as superfícies, mas não mais equidistante) pode-se manter a mesma velocidade de
Passo 1
O enunciado dá uma placa plana muito extensa colocada entre duas superfícies paralelas separadas por
. Inicialmente a placa está a meia distância entre as superfícies (ou seja, equidistante) e é puxada com velocidade constante
. O fluido entre as superfícies tem viscosidade
. Depois troca-se o óleo por outro de viscosidade
e coloca-se a placa paralela às superfícies, agora a
de uma das superfícies (logo
da outra). Observa-se que, com essa nova viscosidade e essa nova posição, a mesma força de arraste mantém a mesma velocidade
.
O que o problema pede: encontrar o valor de , dado que a força de arraste é a mesma nas duas situações.
O que o problema pede: encontrar o valor de
Informações relevantes listadas:
Distância entre as superfícies:
.
Posição inicial: equidistante
espaços de
em cada lado da placa.
Velocidade da placa:
(mesma nas duas situações).
Viscosidade inicial:
.
Nova posição:
de uma superfície e
da outra.
Mesma força de arraste nas duas situações.
A resolução começa no Passo 2.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conceito físico usado (explicado devagar): quando uma placa grande se move paralelamente a superfícies próximas, o fluido entre placa e cada superfície sofre cisalhamento. A tensão de cisalhamento (força por unidade de área) em um fluido newtoniano é dada por
onde
é a tensão de cisalhamento (em
),
é a viscosidade do fluido (em
),
é a velocidade do fluido paralela às superfícies e
é a direção perpendicular às superfícies. Para um escoamento simples entre placas paralelas com velocidade da placa
e camada de espessura
(distância entre placa e parede), assume-se um gradiente de velocidade aproximadamente linear e então
Portanto a tensão é
A força de arraste numa face é essa tensão multiplicada pela área
da placa:
Como há fluido em ambos os lados da placa, as contribuições somam, então a força total é a soma das forças dos dois lados.
Passo 3
Escrevendo a força total nas duas configurações:
Configuração inicial (placa equidistante): os dois espaços valem
. A força total
é
Configuração final (nova viscosidade
e posição a
de uma superfície):
e
. A nova força
é
Sabemos do enunciado que
para a mesma
e mesma área
.
Passo 4
Calculemos explicitamente os recíprocos das distâncias para usar nos cálculos numéricos simples:
Para a configuração inicial:
logo
Para a configuração final:
logo
Passo 5
Agora igualamos
e
. Usando as expressões do Passo 3 e os somatórios do Passo 4:
Podemos simplificar:
e
aparecem em ambos os lados e são diferentes de zero, então cancelam. Resta uma equação para
:
Passo 6
Resolva algebricamente para
:
Portanto
.
Passo 7
Substitua o valor numérico
:
Isso significa que o segundo óleo precisa ter viscosidade menor (75% da original) para que, estando a placa deslocada para perto de uma parede, a mesma força produza a mesma velocidade.