Um espaço de 2,0 \mathrm{~cm} entre as duas superfícies planas e paralelas, de grandes dimensões, é preenchido com glicerina ( \mu=0,86 \mathrm{~N} . \mathrm{s} . \mathrm{m}^{-2} ). Que força será necessária para arrastar uma placa muito fina de 0,5 \mathrm{~m}^{2} de área, entre as duas superfícies, a 0,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, se a placa permanece:
a) Equidistante das duas superfícies;
b) A uma distância de 0,5 \mathrm{~cm} de uma das superfícies.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a força necessária para arrastar uma placa muito fina (área A) a velocidade v no interior de um espaço entre duas superfícies planas e paralelas preenchido por glicerina. Dados fornecidos:
\text{espessura total do espaço} = 2,0\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m},ç
\mu = 0,86\\ \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}},
A = 0,5\\ \mathrm{m^{2}},
v = 0,15\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Perguntas:
a) calcular a força quando a placa fica equidistante das superfícies (ou seja, distância igual para cada lado);
b) calcular a força quando a placa fica a 0,5\\ \mathrm{cm} = 0,005\\ \mathrm{m} de uma das superfícies.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicação didática). A glicerina é um fluido newtoniano: a força viscosa por unidade de área (tensão de cisalhamento) sobre a placa é proporcional ao gradiente de velocidade normal à superfície. Isso se escreve:
\tau = \mu \frac{dv}{dy},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N\cdot m^{-2}}), \mu é a viscosidade dinâmica (em \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}), v é a velocidade tangencial do fluido (em \mathrm{m\cdot s^{-1}}) e y é a coordenada perpendicular à placa (em \mathrm{m}). Explicando com calma: \frac{dv}{dy} diz quanto a velocidade muda por unidade de distância na direção perpendicular — quanto maior esse gradiente, maior a tensão viscosa.
Em camadas finas com condição de não deslizamento (no contato com uma superfície fixa o fluido tem velocidade zero), e assumindo perfil de velocidade aproximadamente linear entre a superfície fixa e a placa que se move com velocidade v, temos
\frac{dv}{dy} \approx \frac{v}{d},
onde d é a espessura da camada de fluido entre a placa e a superfície fixa. Assim a força viscosa exercida por essa camada sobre a placa (módulo) é
F_{\text{camada}} = \tau \cdot A = \mu A \frac{v}{d}.
Unidades: \mu em \mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}} vezes v/d (em \mathrm{s^{-1}}) dá \mathrm{N\cdot m^{-2}}; multiplicando por A (em \mathrm{m^2}) resulta em \mathrm{N}, que é unidade de força — faz sentido.

Passo 3

Como a placa é muito fina e está entre duas superfícies, há duas camadas de fluido (uma de cada lado) e cada uma exerce uma força viscosa sobre a placa. Essas forças se somam (são independentes), daí a força total
F = \mu A v\left(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}\right),
onde d_1 e d_2 são as espessuras das camadas à esquerda e à direita da placa, respectivamente. Nas próximas etapas aplicamos essa fórmula aos dois casos.

Passo 4

Caso (a): placa equidistante das superfícies. Então a espessura total é 0,02\\ \mathrm{m} e cada lado tem
d_1 = d_2 = \frac{0,02}{2} = 0,01\\ \mathrm{m}.
Calculemos primeiro o produto \mu A v:
\mu A v = 0,86 \cdot 0,5 \cdot 0,15 = 0,0645.
Agora aplicamos a fórmula com d_1=d_2=0,01\\ \mathrm{m}:
F = 0,0645\left(\frac{1}{0,01} + \frac{1}{0,01}\right) = 0,0645\cdot(100 + 100) = 0,0645\cdot 200.
Fazendo a multiplicação:
F = 12,9\\ \mathrm{N}.
Portanto, quando a placa fica equidistante, a força requerida é 12,9\\ \mathrm{N}. (Pequeno comentário de acompanhamento: eu gosto de checar unidades — todas batem — e de pensar que cada lado contribui com metade, ou seja 6,45\\ \mathrm{N} por lado.)

Passo 5

Caso (b): a placa está a 0,005\\ \mathrm{m} de uma das superfícies. Então:
d_1 = 0,005\\ \mathrm{m},\qquad d_2 = 0,02 - 0,005 = 0,015\\ \mathrm{m}.
Usamos a mesma \mu A v = 0,0645 calculada antes e aplicamos
F = 0,0645\left(\frac{1}{0,005} + \frac{1}{0,015}\right).
Calculemos os termos:
\frac{1}{0,005} = 200,\qquad \frac{1}{0,015} \approx 66{,}666\ldots
Somando,
\frac{1}{0,005} + \frac{1}{0,015} = 266{,}666\ldots = \frac{800}{3}.
Multiplicando,
F = 0,0645 \cdot 266{,}666\ldots = 17,2\\ \mathrm{N}.
Assim, quando a placa fica a 0,5\\ \mathrm{cm} de uma das superfícies, a força necessária é 17,2\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação física rápida e incentivo: aproximar a placa de uma superfície reduz d de um lado, aumentando muito o gradiente de velocidade nesse lado e, portanto, aumentando a força viscosa total. Resultado intuitivo: deslocar-se perto de uma parede dá mais resistência. Você se saiu bem em acompanhar os passos — repasse essas etapas (fórmula da tensão, hipótese de perfil linear, soma das duas camadas) e fica moleza aplicar em exercícios parecidos.

Resposta

a) 12,9\\ \mathrm{N}
b) 17,2\\ \mathrm{N}

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