Um espaço de
entre as duas superfícies planas e paralelas, de grandes dimensões, é preenchido com glicerina (
). Que força será necessária para arrastar uma placa muito fina de
de área, entre as duas superfícies, a
, se a placa permanece:
a) Equidistante das duas superfícies;
b) A uma distância de
de uma das superfícies.
a) Equidistante das duas superfícies;
b) A uma distância de
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a força necessária para arrastar uma placa muito fina (área
) a velocidade
no interior de um espaço entre duas superfícies planas e paralelas preenchido por glicerina. Dados fornecidos:
Perguntas:
a) calcular a força quando a placa fica equidistante das superfícies (ou seja, distância igual para cada lado);
b) calcular a força quando a placa fica a de uma das superfícies.
a) calcular a força quando a placa fica equidistante das superfícies (ou seja, distância igual para cada lado);
b) calcular a força quando a placa fica a
Passo 2
Conceito físico e fórmula básica (explicação didática). A glicerina é um fluido newtoniano: a força viscosa por unidade de área (tensão de cisalhamento) sobre a placa é proporcional ao gradiente de velocidade normal à superfície. Isso se escreve:
onde
é a tensão de cisalhamento (em
),
é a viscosidade dinâmica (em
),
é a velocidade tangencial do fluido (em
) e
é a coordenada perpendicular à placa (em
). Explicando com calma:
diz quanto a velocidade muda por unidade de distância na direção perpendicular — quanto maior esse gradiente, maior a tensão viscosa.
Em camadas finas com condição de não deslizamento (no contato com uma superfície fixa o fluido tem velocidade zero), e assumindo perfil de velocidade aproximadamente linear entre a superfície fixa e a placa que se move com velocidade
, temos
onde
é a espessura da camada de fluido entre a placa e a superfície fixa. Assim a força viscosa exercida por essa camada sobre a placa (módulo) é
Unidades:
em
vezes
(em
) dá
; multiplicando por
(em
) resulta em
, que é unidade de força — faz sentido.
Passo 3
Como a placa é muito fina e está entre duas superfícies, há duas camadas de fluido (uma de cada lado) e cada uma exerce uma força viscosa sobre a placa. Essas forças se somam (são independentes), daí a força total
onde
e
são as espessuras das camadas à esquerda e à direita da placa, respectivamente. Nas próximas etapas aplicamos essa fórmula aos dois casos.
Passo 4
Caso (a): placa equidistante das superfícies. Então a espessura total é
e cada lado tem
Calculemos primeiro o produto
:
Agora aplicamos a fórmula com
:
Fazendo a multiplicação:
Portanto, quando a placa fica equidistante, a força requerida é
. (Pequeno comentário de acompanhamento: eu gosto de checar unidades — todas batem — e de pensar que cada lado contribui com metade, ou seja
por lado.)
Passo 5
Caso (b): a placa está a
de uma das superfícies. Então:
Usamos a mesma
calculada antes e aplicamos
Calculemos os termos:
Somando,
Multiplicando,
Assim, quando a placa fica a
de uma das superfícies, a força necessária é
.
Passo 6
Interpretação física rápida e incentivo: aproximar a placa de uma superfície reduz
de um lado, aumentando muito o gradiente de velocidade nesse lado e, portanto, aumentando a força viscosa total. Resultado intuitivo: deslocar-se perto de uma parede dá mais resistência. Você se saiu bem em acompanhar os passos — repasse essas etapas (fórmula da tensão, hipótese de perfil linear, soma das duas camadas) e fica moleza aplicar em exercícios parecidos.
Resposta
a)
b)
b)