Faça o mapa de contorno da função mostrando curvas de nível nos cortes f(x, y)=k.
f(x, y)=(y-2 x)^2, k=0,1,2,3,4

Passo 1

Aqui a gente tem f(x,y)=(y−2x)² e precisa desenhar as curvas de nível f(x,y)=k para k=0,1,2,3,4. O assunto é mapa de contorno: cada curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=k.

Passo 2

A gente começa igualando f(x,y) a k:
(y-2x)^2 = k
Agora usamos a propriedade de raízes quadradas. Para k≥0,
y-2x = ±raizk
Então cada curva de nível é uma reta (ou duas, no caso de k>0) de inclinação 2.

Passo 3

Para cada k a gente escreve as equações explícitas:
  • k=0: y−2x=0 ⇒ y=2x
  • k=1: y−2x=±1 ⇒ y=2x+1 e y=2x−1
  • k=2: y−2x=±√2 ⇒ y=2x+√2 e y=2x−√2
  • k=3: y−2x=±√3 ⇒ y=2x+√3 e y=2x−√3
  • k=4: y−2x=±2 ⇒ y=2x+2 e y=2x−2

Passo 4

No plano xy, isso dá um feixe de retas paralelas de inclinação 2, todas igualmente espaçadas em torno da reta central y=2x. É esse o mapa de contorno!

Resposta

As curvas de nível são as retas
y=2x (para k=0) e
para k=1: y=2x±1,
para k=2: y=2x±√2,
para k=3: y=2x±√3,
para k=4: y=2x±2,
todas com inclinação 2 e interceptos ±√k.

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