Faça o mapa de contorno da função mostrando curvas de nível nos cortes
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Passo 1
Aqui a gente tem f(x,y)=(y−2x)² e precisa desenhar as curvas de nível f(x,y)=k para k=0,1,2,3,4. O assunto é mapa de contorno: cada curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=k.
Passo 2
A gente começa igualando f(x,y) a k:
Agora usamos a propriedade de raízes quadradas. Para k≥0,
Então cada curva de nível é uma reta (ou duas, no caso de k>0) de inclinação 2.
Passo 3
Para cada k a gente escreve as equações explícitas:
- k=0: y−2x=0 ⇒ y=2x
- k=1: y−2x=±1 ⇒ y=2x+1 e y=2x−1
- k=2: y−2x=±√2 ⇒ y=2x+√2 e y=2x−√2
- k=3: y−2x=±√3 ⇒ y=2x+√3 e y=2x−√3
- k=4: y−2x=±2 ⇒ y=2x+2 e y=2x−2
Passo 4
No plano xy, isso dá um feixe de retas paralelas de inclinação 2, todas igualmente espaçadas em torno da reta central y=2x. É esse o mapa de contorno!
Resposta
As curvas de nível são as retas
y=2x (para k=0) e
para k=1: y=2x±1,
para k=2: y=2x±√2,
para k=3: y=2x±√3,
para k=4: y=2x±2,
todas com inclinação 2 e interceptos ±√k.
y=2x (para k=0) e
para k=1: y=2x±1,
para k=2: y=2x±√2,
para k=3: y=2x±√3,
para k=4: y=2x±2,
todas com inclinação 2 e interceptos ±√k.