Questão 4 ( 0,5 ponto cada item) Calcule, se existir, os seguintes limites:
lim x infty(1+3x)^x+4

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando x tende ao infinito da expressão (1 + 3x)^x+4 . O conteúdo que vamos usar aqui está relacionado a limites de funções exponenciais, especialmente a forma conhecida que envolve o número de Euler e . Vamos precisar entender como manipular expressões desse tipo para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise:
(1 + 3x)^x+4 = (1 + 3x)^x times (1 + 3x)^4
Aqui, separamos a potência em dois termos para simplificar.

Passo 3

Sabemos que:
limx infty (1 + ax)^x = e^a
Essa é uma fórmula clássica de limites que envolve o número e . No nosso caso, a = 3 .

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao primeiro termo:
limx infty (1 + 3x)^x = e^3

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo termo:
limx infty (1 + 3x)^4
Como 3x tende a zero quando x tende ao infinito, a expressão dentro do parênteses se aproxima de 1. Portanto:
limx infty (1 + 3x)^4 = 1^4 = 1

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os dois limites que calculamos:
e^3 times 1 = e^3

Resposta

O limite é e^3 .

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