25 Em um recipiente de capacidade térmica desprezível se encontra um líquido à temperatura \mathrm{T}_{1}=10^{\circ} \mathrm{C}. Introduz-se um cubo de metal à temperatura \mathrm{T}_{2}=200^{\circ} \mathrm{C} no recipiente atingindo-se uma temperatura de equilíbrio \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=60^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} cubo é então retirado e, quando o líquido está à temperatura \mathrm{T}^{\prime}{ }_{1}=20^{\circ} \mathrm{C}, o cubo é reintroduzido, atingindo uma temperatura de equilíbrio \mathrm{T}^{\prime}{ }_{\mathrm{e}}=40^{\circ} \mathrm{C}. Qual era a temperatura inicial do cubo neste segundo caso?

Passo 1

O enunciado nos dá dois experimentos com o mesmo cubo de metal e o mesmo líquido. Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido.
Dados do primeiro experimento:
  • Temperatura inicial do líquido: \mathrm{T}_{1}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do cubo (no primeiro experimento): \mathrm{T}_{2}=200^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de equilíbrio após misturar: \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidade térmica do recipiente desprezível (logo não troca calor relevante com o sistema).
Dados do segundo experimento:
  • Após o primeiro experimento o cubo foi retirado; depois o líquido ficou à temperatura \mathrm{T}'_{1}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Um novo cubo (o mesmo objeto, agora aquecido a uma temperatura desconhecida) é introduzido e atinge equilíbrio \mathrm{T}'_{\mathrm{e}}=40^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura inicial do cubo no segundo caso (aquela que chamarei de \mathrm{T}_{\text{inicial,2}}).

Passo 2

Conceitos e escolha de variáveis (explicação didática e simples).
  • Quando dois corpos trocam calor sem perdas para o ambiente, a soma dos calores trocados é zero (energia térmica conservada).
  • Para um corpo com massa m e calor específico c, o calor trocado ao variar a temperatura de \!T_{\text{inicial}} para \!T_{\text{final}} é
Q = mc\,(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
Aqui é útil trabalhar com a capacidade térmica total de cada componente (produto mc), porque os valores individuais de m e c não são dados. Defino:
  • A = m_{\text{cubo}}\,c_{\text{cubo}} (capacidade térmica total do cubo).
  • B = m_{\text{líquido}}\,c_{\text{líquido}}íí (capacidade térmica total do líquido).
Observação sobre sinais: quando o cubo esfria, ele perde calor ( Q_{\text{cubo}}<0); quando o líquido aquece, ganha calor ( Q_{\text{líquido}}>0í). Na conservação de energia,
Q_{\text{cubo}} + Q_{\text{líquido}} = 0.í

Passo 3

Aplicar conservação de energia no primeiro experimento (usar os dados do Passo 1).
  • O cubo vai de \mathrm{T}_2=200^\circ\mathrm{C} até \mathrm{T}_\mathrm{e}=60^\circ\mathrm{C}. O calor perdido pelo cubo é
Q_{\text{cubo,1}} = A\,(60 - 200) = A\cdot(-140).
  • O líquido vai de \mathrm{T}_1=10^\circ\mathrm{C} até \mathrm{T}_\mathrm{e}=60^\circ\mathrm{C}. O calor ganho pelo líquido é
Q_{\text{líq,1}} = B\,(60 - 10) = B\cdot 50.í
Conservação de energia:
Q_{\text{cubo,1}} + Q_{\text{líq,1}} = 0.í
Substituindo:
A\cdot(-140) + B\cdot 50 = 0.

Passo 4

Isolar a razão A/B a partir da equação do Passo 3.
-140\,A + 50\,B = 0 \quad\Rightarrow\quad 140\,A = 50\,B.
Portanto
\frac{A}{B} = \frac{50}{140} = \frac{5}{14}.
Interpretação: conhecendo \tfrac{A}{B} não precisamos dos valores absolutos de A e B para resolver o segundo experimento.

Passo 5

Aplicar conservação de energia no segundo experimento, usando a razão encontrada.
  • Seja \mathrm{T} a temperatura inicial do cubo no segundo caso (o que queremos achar). O cubo vai de \mathrm{T} até \mathrm{T}'_{\mathrm{e}}=40^\circ\mathrm{C}, então o calor trocado pelo cubo é
Q_{\text{cubo,2}} = A\,(40 - \mathrm{T}).
  • O líquido vai de \mathrm{T}'_{1}=20^\circ\mathrm{C} até \mathrm{T}'_{\mathrm{e}}=40^\circ\mathrm{C}, então o calor ganho pelo líquido é
Q_{\text{líq,2}} = B\,(40 - 20) = B\cdot 20.í
Conservação de energia:
Q_{\text{cubo,2}} + Q_{\text{líq,2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad A\,(40 - \mathrm{T}) + B\cdot 20 = 0.í

Passo 6

Resolver a equação do Passo 5 usando \tfrac{A}{B}=\tfrac{5}{14}.
Divido a equação por B para trabalhar com a razão:
\frac{A}{B}(40 - \mathrm{T}) + 20 = 0.
Substituindo \dfrac{A}{B}=\dfrac{5}{14}:
\frac{5}{14}(40 - \mathrm{T}) + 20 = 0.
Passos algébricos:
\frac{5}{14}(40 - \mathrm{T}) = -20.
Multiplico ambos os lados por \dfrac{14}{5}:
40 - \mathrm{T} = -20\cdot\frac{14}{5} = -20\cdot\frac{14}{5}.
Calculo numérico:
\frac{14}{5}=2{,}8 \quad\Rightarrow\quad -20\cdot\frac{14}{5} = -20\cdot 2{,}8 = -56.
Logo
40 - \mathrm{T} = -56 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{T} = 40 + 56 = 96.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (motivacional e tranquilizadora).
  • Obtivemos \mathrm{T}=96^\circ\mathrm{C}. Faz sentido físico: o cubo deve ter temperatura maior que o equilíbrio ( 40^\circ\mathrm{C}) para aquecer o líquido de 20^\circ\mathrm{C} até 40^\circ\mathrm{C}. O valor 96^\circ\mathrm{C} é compatível com a razão de capacidades térmicas determinada pelo primeiro experimento.
  • Boa! Você conseguiu seguir a conservação de energia e a ideia de capacidade térmica sem precisar dos valores de massa e calor específico separadamente.

Resposta

\,96^\circ\mathrm{C}

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