25 Em um recipiente de capacidade térmica desprezível se encontra um líquido à temperatura
. Introduz-se um cubo de metal à temperatura
no recipiente atingindo-se uma temperatura de equilíbrio
cubo é então retirado e, quando o líquido está à temperatura
, o cubo é reintroduzido, atingindo uma temperatura de equilíbrio
. Qual era a temperatura inicial do cubo neste segundo caso?
Passo 1
O enunciado nos dá dois experimentos com o mesmo cubo de metal e o mesmo líquido. Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido.
Dados do primeiro experimento:
- Temperatura inicial do líquido:
. - Temperatura inicial do cubo (no primeiro experimento):
. - Temperatura de equilíbrio após misturar:
. - Capacidade térmica do recipiente desprezível (logo não troca calor relevante com o sistema).
Dados do segundo experimento:
- Após o primeiro experimento o cubo foi retirado; depois o líquido ficou à temperatura
. - Um novo cubo (o mesmo objeto, agora aquecido a uma temperatura desconhecida) é introduzido e atinge equilíbrio
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a temperatura inicial do cubo no segundo caso (aquela que chamarei de
).
Passo 2
Conceitos e escolha de variáveis (explicação didática e simples).
- Quando dois corpos trocam calor sem perdas para o ambiente, a soma dos calores trocados é zero (energia térmica conservada).
- Para um corpo com massa
e calor específico , o calor trocado ao variar a temperatura de para é
Aqui é útil trabalhar com a capacidade térmica total de cada componente (produto
), porque os valores individuais de
e
não são dados. Defino:
-
(capacidade térmica total do cubo). -
(capacidade térmica total do líquido).
Observação sobre sinais: quando o cubo esfria, ele perde calor (
); quando o líquido aquece, ganha calor (
). Na conservação de energia,
Passo 3
Aplicar conservação de energia no primeiro experimento (usar os dados do Passo 1).
- O cubo vai de
até . O calor perdido pelo cubo é
- O líquido vai de
até . O calor ganho pelo líquido é
Conservação de energia:
Substituindo:
Passo 4
Isolar a razão
a partir da equação do Passo 3.
Portanto
Interpretação: conhecendo
não precisamos dos valores absolutos de
e
para resolver o segundo experimento.
Passo 5
Aplicar conservação de energia no segundo experimento, usando a razão encontrada.
- Seja
a temperatura inicial do cubo no segundo caso (o que queremos achar). O cubo vai de até , então o calor trocado pelo cubo é
- O líquido vai de
até , então o calor ganho pelo líquido é
Conservação de energia:
Passo 6
Resolver a equação do Passo 5 usando
.
Divido a equação por para trabalhar com a razão:
Divido a equação por
Substituindo
:
Passos algébricos:
Multiplico ambos os lados por
:
Calculo numérico:
Logo
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida (motivacional e tranquilizadora).
- Obtivemos
. Faz sentido físico: o cubo deve ter temperatura maior que o equilíbrio ( ) para aquecer o líquido de até . O valor é compatível com a razão de capacidades térmicas determinada pelo primeiro experimento. - Boa! Você conseguiu seguir a conservação de energia e a ideia de capacidade térmica sem precisar dos valores de massa e calor específico separadamente.