1. (1,25) Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}+y=e^{x}, y(0)=\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI) dado por:
y^{\prime}+y=e^{x},\qquad y(0)=\tfrac{3}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é \;y^{\prime}+y=e^{x}\;.
  • A condição inicial é \;y(0)=\tfrac{3}{2}\;.
  • A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x (no domínio em que faz sentido) e que atenda à condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui identificamos claramente:
P(x)=1,\qquad Q(x)=e^{x}.
Explicação curta e prática: nessa forma, P(x) é o coeficiente que multiplica y e Q(x) é o termo do lado direito (a “força” que alimenta a equação). Reconhecer P e Q é o primeiro passo para aplicar o método que vamos usar a seguir.

Passo 3

Vamos usar o fator integrante (uma ferramenta padrão e eficiente para essas equações). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
Como P(x)=1, temos
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int 1\,dx\bigg)=\exp(x)=e^{x}.
Mini-aula: por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação original por \mu(x) obtemos
\mu(x)y^{\prime}+\mu(x)P(x)y.
Mas a derivada do produto \mu(x)y é
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)y^{\prime}+\mu^{\prime}(x)y.
Como \mu^{\prime}(x)=P(x)\mu(x) (essa igualdade vem da definição de \mu), então \mu(x)y^{\prime}+\mu(x)P(x)y é exatamente \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big). Ou seja, multiplicando por \mu transformamos a esquerda numa derivada total simples.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}y^{\prime}+e^{x}y = e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}.
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{2x}\,dx.
A integral da esquerda dá diretamente e^{x}y. Para a direita, usamos a regra básica de integração \int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax} (com a=2):
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{x}:
y = \frac{1}{2}e^{2x}\cdot e^{-x} + C e^{-x} = \frac{1}{2}e^{x} + C e^{-x}.
Ou seja, a solução geral do sistema é
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=\tfrac{3}{2} para determinar C. Substituindo x=0:
\frac{3}{2} = y(0) = \frac{1}{2}e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{2} + C.
Daqui:
C = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.

Passo 8

Substituindo C=1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+e^{-x}.
Verificação rápida (pra ficar mais confiante): calcule y^{\prime}(x):
y^{\prime}(x)=\frac{1}{2}e^{x}-e^{-x}.
Somando y^{\prime}+y:
\left(\frac{1}{2}e^{x}-e^{-x}\right)+\left(\frac{1}{2}e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x},
ou seja, a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial também. Ótimo trabalho — você tem agora a solução pronta pra usar na prova!

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+e^{-x}

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