-
Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - A tarefa é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para todo (no domínio em que faz sentido) e que atenda à condição inicial.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui identificamos claramente:
Explicação curta e prática: nessa forma,
é o coeficiente que multiplica
e
é o termo do lado direito (a “força” que alimenta a equação). Reconhecer
e
é o primeiro passo para aplicar o método que vamos usar a seguir.
Passo 3
Vamos usar o fator integrante (uma ferramenta padrão e eficiente para essas equações). O fator integrante
é definido por
Como
, temos
Mini-aula: por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação original por
obtemos
Mas a derivada do produto
é
Como
(essa igualdade vem da definição de
), então
é exatamente
. Ou seja, multiplicando por
transformamos a esquerda numa derivada total simples.
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
Pelo raciocínio do passo anterior, a esquerda é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
A integral da esquerda dá diretamente
. Para a direita, usamos a regra básica de integração
(com
):
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Ou seja, a solução geral do sistema é
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Daqui:
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
Verificação rápida (pra ficar mais confiante): calcule
:
Somando
:
ou seja, a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial também. Ótimo trabalho — você tem agora a solução pronta pra usar na prova!