1. [25%] Resolva o seguinte PVI:
l d yd x+7 y=11 y(0)=57 ; y=y(x)

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente resolver o PVI
dydx+7y =11, y(0)=57
Matéria: equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Vamos precisar usar o fator integrante e fazer uma integração simples.

Passo 2

Identifica-se que a equação tem formato padrão y'+p(x)y = q(x) com p(x)=7 e q(x)=11. A técnica é multiplicar tudo por um fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx para transformar o lado esquerdo numa derivada de produto.

Passo 3

Calcula o fator integrante:
mu(x)=e^integral7,dx=e^7x
Multiplicando a equação original por mu(x):
e^7xdydx+7e^7xy = 11e^7x ;Longrightarrow; ddxl(y,e^7xr) =11e^7x

Passo 4

Integra dos dois lados em x:
y,e^7x = integral11e^7x,dx + C =11cdot17e^7x + C =117e^7x+C
Logo
y = 117 + Ce^-7x

Passo 5

Aplica a condição inicial y(0)=tfrac57:
57 = 117 + C ;Longrightarrow; C = -67
Então
y(x) = 117 - 67e^-7x

Resposta

y(x) = 117 - 67e^-7x

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