Determine o volume do sólido obtido ao rotar a região determinada pelas curvas dadas ao redor da reta dada. Faça um esboço da região, do sólido obtido e do cilindro ou arruela típica.
y=raizx-1, y=0, x=5; ao redor do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotar, em torno do eixo x, a região plana limitada por
y = raizx-1, y = 0, x=5
O conteúdo é o método dos discos, pois ao girar em torno do eixo x cada fatia vertical gera um disco de raio y.

Passo 2

Primeiro identificamos o intervalo de x. A curva y=raizx-1 existe para x>=1. Como há também a reta vertical x=5, a região varia em
1 <= x <= 5,
e para cada x temos 0 <= y <= raizx-1.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, uma fatia vertical em x de espessura dx gera um disco de raio
R(x) = y = raizx-1
A área dessa seção transversal é
A(x) = pil[R(x)r]^2 = pil(raizx-1r)^2 = pi(x-1)

Passo 4

O volume do sólido é a soma (integral) dessas áreas vezes dx:
V = integralx=1^5 A(x),dx = integral1^5 pi(x-1),dx

Passo 5

Calculando a integral,
V = piintegral1^5(x-1),dx = pi[(x-1)^22]1^5 = pigl((5-1)^22-(1-1)^22gr) = picdot162 = 8pi

Resposta

O volume do sólido é 8pi.

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