W(x)= x & x e^x & x^2e^x 1 & e^x(1+x) & e^x(x^2+2x) 0 & e^x(2+x) & e^x(x^2+4x+2)
Passo 4
Fatorando e^x da segunda e da terceira colunas, obtemos
W(x) = e^2x x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2
Passo 5
Calcular o determinante interno por expansão pela primeira coluna:
x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2 = xl((1+x)(x^2+4x+2)-(2+x)(x^2+2x)r) -1l(x(x^2+4x+2)-x^2(2+x)r)
Agora
(1+x)(x^2+4x+2)-(2+x)(x^2+2x)=x^2+2x+2,
x(x^2+4x+2)-x^2(2+x)=2x^2+2x,
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x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2 = x(x^2+2x+2)-(2x^2+2x)=x^3
Portanto
W(x)=x^3e^2x
Passo 6
Observamos que W(x)=x^3e^2x não é a função zero (ele só se anula em x=0, mas não é identicamente zero em R). Pelo teorema do Wronskiano, isso basta para concluir que f,g,h são linearmente independentes em R.
Resposta
As funções f(x)=x, g(x)=x e^x e h(x)=x^2e^x são linearmente independentes em R.