Em cada um dos itens seguintes use o Wronskiano para provar que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
f(x)=x, g(x)=x e^x, h(x)=x^2 e^x; a reta real

Passo 1

Resumindo, temos as funções
f(x)=x, g(x)=x,e^x, h(x)=x^2e^x
definidas em R. O objetivo é mostrar que elas são linearmente independentes em R usando o Wronskiano. Lembrando que, para três funções f,g,h, o Wronskiano é
W(x)= f(x) & g(x) & h(x) f'(x)&g'(x)&h'(x) f''(x)&g''(x)&h''(x) ,
e se W(x) não for identicamente zero em R, então f,g,h são linearmente independentes.

Passo 2

Calcular as derivadas de primeira e segunda ordem:
f(x)=x, f'(x)=1, f''(x)=0,
g(x)=x e^x, g'(x)=e^x(1+x), g''(x)=e^x(2+x),
h(x)=x^2e^x, h'(x)=e^x(x^2+2x), h''(x)=e^x(x^2+4x+2)

Passo 3

Montar o Wronskiano com essas derivadas:
W(x)= x & x e^x & x^2e^x 1 & e^x(1+x) & e^x(x^2+2x) 0 & e^x(2+x) & e^x(x^2+4x+2)

Passo 4

Fatorando e^x da segunda e da terceira colunas, obtemos
W(x) = e^2x x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2

Passo 5

Calcular o determinante interno por expansão pela primeira coluna:
x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2 = xl((1+x)(x^2+4x+2)-(2+x)(x^2+2x)r) -1l(x(x^2+4x+2)-x^2(2+x)r)
Agora
(1+x)(x^2+4x+2)-(2+x)(x^2+2x)=x^2+2x+2,
x(x^2+4x+2)-x^2(2+x)=2x^2+2x,
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x & x & x^2 1 & 1+x & x^2+2x 0 & 2+x & x^2+4x+2 = x(x^2+2x+2)-(2x^2+2x)=x^3
Portanto
W(x)=x^3e^2x

Passo 6

Observamos que W(x)=x^3e^2x não é a função zero (ele só se anula em x=0, mas não é identicamente zero em R). Pelo teorema do Wronskiano, isso basta para concluir que f,g,h são linearmente independentes em R.

Resposta

As funções f(x)=x, g(x)=x e^x e h(x)=x^2e^x são linearmente independentes em R.

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