Determine o volume do sólido obtido ao rotar a região determinada pelas curvas dadas ao redor da reta dada. Faça um esboço da região, do sólido obtido e do cilindro ou arruela típica.
y=x^3, y=raizx; ao redor do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotar a região limitada pelas curvas y=x^3 e y=raizx ao redor do eixo x.
O conteúdo envolve o método de discos/arruelas para volumes de revolução: precisamos achar os pontos de interseção, identificar as funções que geram o raio externo e o raio interno e montar a integral apropriada.

Passo 2

Para determinar os limites em x, igualamos as curvas na região de interesse:
x^3 = raizx
x^3 = x^1/2
x^5/2=1
Logo x=0 ou x=1. Como ambas as curvas passam por x=0 e se cruzam em x=1, o intervalo de integração é [0,1].

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada seção perpendicular gera uma arruela com:
– Raio externo R(x)=raizx (distância da curva superior ao eixo),
– Raio interno r(x)=x^3 (distância da curva inferior ao eixo).
Num esboço, vemos que raizx fica acima de x^3 em [0,1].

Passo 4

O volume diferencial de cada arruela é
dV = pil(R(x)^2-r(x)^2r),dx = pil((raizx)^2-(x^3)^2r),dx = pil(x - x^6r),dx
Assim, o volume total é
V = integral0^1 pil(x - x^6r),dx

Passo 5

Calculando a integral:
V = piintegral0^1 l(x - x^6r),dx = pil[tfracx^22 - tfracx^77r]0^1 = pil(tfrac12 - tfrac17r) = picdottfrac514 = tfrac5pi14

Resposta

O volume do sólido gerado é tfrac5pi14.

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