Determine o volume do sólido obtido ao rotar a região determinada pelas curvas dadas ao redor da reta dada. Faça um esboço da região, do sólido obtido e do cilindro ou arruela típica.
; ao redor do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotar a região limitada pelas curvas
e
ao redor do eixo
.
O conteúdo envolve o método de discos/arruelas para volumes de revolução: precisamos achar os pontos de interseção, identificar as funções que geram o raio externo e o raio interno e montar a integral apropriada.
O conteúdo envolve o método de discos/arruelas para volumes de revolução: precisamos achar os pontos de interseção, identificar as funções que geram o raio externo e o raio interno e montar a integral apropriada.
Passo 2
Para determinar os limites em
, igualamos as curvas na região de interesse:
Logo
ou
. Como ambas as curvas passam por
e se cruzam em
, o intervalo de integração é
.
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, cada seção perpendicular gera uma arruela com:
– Raio externo (distância da curva superior ao eixo),
– Raio interno (distância da curva inferior ao eixo).
Num esboço, vemos que fica acima de
em
.
– Raio externo
– Raio interno
Num esboço, vemos que
Passo 4
O volume diferencial de cada arruela é
Assim, o volume total é
Passo 5
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
.