[25%] Seja x>0 e considere a seguinte EDO de primeira ordem:
y^prime=yx+y^2x^2+1
Use a substituição do tipo u=yx para encontrar a solução explícita da EDO anterior com y em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que rolou no enunciado. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
y' = yx + y^2x^2 + 1,
com x>0. O truque é usar a substituição u = tfracyx. Isso transforma a EDO numa que dá pra separar variáveis e integrar de boa. Na teoria, a gente vai usar:
  • Derivada do produto (porque y = u(x),x).
  • Técnicas de equação separável (colocar tudo em du de um lado e dx do outro).
  • Integral de tfrac1u^2+1 que é arctan(u).
A partir do próximo passo a gente mete a mão na massa.

Passo 2

Definimos
u = yx Longrightarrow y = u,x
Agora vamos achar y' em função de u. Usando a regra do produto:
y' = ddx(u,x) = u',x + u

Passo 3

Substituindo isso na equação original:
u',x + u = yx + y^2x^2 + 1
Mas como y/x = u e y^2/x^2 = u^2, fica
u',x + u = u + u^2 + 1
Aí o u cancela dos dois lados e sobra
u',x = u^2 + 1
Ou seja
u' = u^2 + 1x

Passo 4

Agora enxergamos que é uma EDO de variáveis separáveis: podemos escrever
dudx = u^2 + 1x Longrightarrow duu^2+1 = dxx
Na teoria, pra resolver a gente integra os dois lados:
integral duu^2+1 = integral dxx
Sabemos que integral duu^2+1 = arctan(u) e integral dxx = ln|x|. Como x>0, ln|x| = ln x. Logo:
arctan(u) = ln x + C

Passo 5

Isolando u, aplicamos a tangente dos dois lados:
u = tanl(ln x + Cr)

Passo 6

Lembra que u = y/x. Então
yx = tanl(ln x + Cr) Longrightarrow y(x) = x ,tanl(ln x + Cr)

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x) = x ,tanl(ln x + Cr), CinR

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