[25%] Seja
e considere a seguinte EDO de primeira ordem:
Use a substituição do tipo
para encontrar a solução explícita da EDO anterior com
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que rolou no enunciado. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com
. O truque é usar a substituição
. Isso transforma a EDO numa que dá pra separar variáveis e integrar de boa. Na teoria, a gente vai usar:
- Derivada do produto (porque
). - Técnicas de equação separável (colocar tudo em
de um lado e do outro). - Integral de
que é .
A partir do próximo passo a gente mete a mão na massa.
Passo 2
Definimos
Agora vamos achar
em função de
. Usando a regra do produto:
Passo 3
Substituindo isso na equação original:
Mas como
e
, fica
Aí o
cancela dos dois lados e sobra
Ou seja
Passo 4
Agora enxergamos que é uma EDO de variáveis separáveis: podemos escrever
Na teoria, pra resolver a gente integra os dois lados:
Sabemos que
e
. Como
,
. Logo:
Passo 5
Isolando
, aplicamos a tangente dos dois lados:
Passo 6
Lembra que
. Então
Resposta
A solução geral da EDO é