Determine o comprimento das seguintes curvas
36 y^2=(x^2-4)^3, com 2 <= x <= 3 e 0 <= y.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da parte da curva definida implicitamente por
36,y^2 = l(x^2-4r)^3,
para 2 <= x <= 3 e y>=0.
O conteúdo é cálculo de comprimento de curva dada por y=f(x), usando a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Isolamos y em função de x. Da equação
36,y^2 = (x^2-4)^3
vem
y^2 = (x^2-4)^336,
e, como y>=0,
y(x) = (x^2-4)^3/26

Passo 3

Calculamos y'(x). Usando a cadeia em
y(x) = 16,(x^2-4)^3/2,
temos
ddx(x^2-4)^3/2 = tfrac32(x^2-4)^1/2cdot 2x = 3x,(x^2-4)^1/2,
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y'(x) = 16cdot 3x,(x^2-4)^1/2 = x,raizx^2-42

Passo 4

Montamos o integrando
1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + x^2(x^2-4)4 = 4 + x^4 -4x^24 = (x^2-2)^24
Como xin[2,3] faz x^2-2>=0,
raiz1 + (y')^2 = x^2-22

Passo 5

O comprimento é
L = integral2^3 x^2-22;dx = 12 integral2^3 (x^2-2);dx

Passo 6

Calculamos a integral:
integral2^3 (x^2-2);dx = l[x^33 - 2xr]2^3 = l(9 - 6r) - l(tfrac83 - 4r) = 3 - l(-tfrac43r) = 133
Portanto
L = 12cdot 133 = 136

Resposta

O comprimento da curva é 136.

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