[25%] Resolva as seguintes EDO’s de segunda ordem de forma direta sem precisar demonstrar as soluções. Não serão aceitos somente a resposta.
a) x^2 y^prime prime+11 x y^prime+41 y=0, x>0.
b) y^prime prime-14 y^prime+49 y=0, x in R.
Para a letra b) calcule o Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas equações diferenciais lineares de segunda ordem de forma direta, sem demonstrar o método completo. A letra (a) é uma equação de Euler–Cauchy
x^2y''+11x,y'+41y=0, x>0,
e a letra (b) é uma equação com coeficientes constantes
y''-14y'+49y=0, xinR
Depois de encontrar a solução geral de (b), precisamos ainda calcular o wronskiano das duas soluções fundamentais.

Passo 2

Para a equação de Euler–Cauchy
x^2y''+11x,y'+41y=0
usamos o ansatz y=x^m. Isso leva à equação característica
m(m-1)+11m+41=0;Longrightarrow;m^2+10m+41=0
As raízes são
m=-5pm4i
Logo, a solução geral é
y(x)=x^-5l(C1cosl(4ln xr)+C2sinl(4ln xr)r)

Passo 3

Para a equação com coeficientes constantes
y'' - 14 y' + 49 y = 0
a característica é
r^2 - 14 r + 49 = 0 ;Longrightarrow; (r - 7)^2 = 0
double root r = 7. Assim as soluções fundamentais são
y1(x) = e^7x, y2(x) = x , e^7x,
e a solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x) e^7x

Passo 4

O wronskiano de y1 e y2 é
W(y1,y2)(x)= y1 & y2 y1' & y2' =e^7xl(e^7x+7x,e^7xr)-l(x,e^7xr)l(7e^7xr) =e^14x

Resposta

a) y(x)=x^-5l(C1cos(4ln x)+C2sin(4ln x)r)
b) y(x)=(C1+C2x)e^7x
Wronskiano das soluções fundamentais de (b):
W(y1,y2)(x)=e^14x

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