Determine o comprimento das seguintes curvas
x=e^y+e^-y4, com 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
x = e^y + e^-y4, 0 <= y <= 1
Vamos usar o conteúdo de comprimento de curva em função de y: se x=f(y), então
L = integraly0^y1 raiz1 + l(f'(y)r)^2,dy

Passo 2

Calculamos a derivada de x em relação a y:
dxdy = ddyl(e^y + tfrac14e^-yr) = e^y - 14e^-y

Passo 3

Montamos o integrando
1 + l(dxdyr)^2 = 1 + l(e^y - tfrac14e^-yr)^2
Expandindo o quadrado,
l(e^y - tfrac14e^-yr)^2 = e^2y - tfrac12 + tfrac116e^-2y,
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1 + l(dxdyr)^2 = e^2y + tfrac12 + tfrac116e^-2y = l(e^y + tfrac14e^-yr)^2
Portanto
raiz1 + (dx/dy)^2 = e^y + e^-y4

Passo 4

O comprimento fica
L = integral0^1 l(e^y + tfrac14e^-yr),dy = integral0^1 e^y,dy + 14integral0^1 e^-y,dy

Passo 5

Calculando as integrais:
integral0^1 e^y,dy = l[e^yr]0^1 = e - 1,
integral0^1 e^-y,dy = l[-e^-yr]0^1 = 1 - 1e
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L = (e - 1) + 14l(1 - tfrac1er) = e - 1 + 14 - 14e = e - 34 - 14e

Resposta

L = e ;-;34;-;14e

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