- [25%] Resolva as seguintes EDO’s de segunda ordem de forma direta sem precisar demonstrar as soluções. Não serão aceitos somente a resposta.
a)
.
b)
.
Para a letra b) calcule o Wronskiano das soluções fundamentais.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver duas EDOs de segunda ordem homogêneas. A letra (a) é uma EDO de Euler–Cauchy, e a letra (b) é uma EDO com coeficientes constantes. Para (a) usaremos a substituição
; para (b) aplicaremos a equação característica de coeficientes constantes. Além disso, para (b) devemos calcular o Wronskiano das soluções fundamentais.
Passo 2
Para (a), assumimos solução do tipo
. Então
Substituindo em
obtemos a equação em
.
Passo 3
Substituindo:
As raízes são
Passo 4
Como as raízes são complexas
, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é
Passo 5
Para (b), montamos a equação característica de
como
O discriminante é
logo há raiz dupla.
Passo 6
A raiz dupla é
Assim, a solução geral é
Duas soluções fundamentais são
Passo 7
O Wronskiano de
é
Resposta
a) A solução geral é
b) A solução geral é
e o Wronskiano das soluções fundamentais é