1. [25%] Resolva as seguintes EDO’s de segunda ordem de forma direta sem precisar demonstrar as soluções. Não serão aceitos somente a resposta.
    a) x^2 y^prime prime+13 x y^prime+61 y=0, x>0.
    b) y^prime prime-16 y^prime+64 y=0, x in R.
Para a letra b) calcule o Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 1

O enunciado pede para resolver duas EDOs de segunda ordem homogêneas. A letra (a) é uma EDO de Euler–Cauchy, e a letra (b) é uma EDO com coeficientes constantes. Para (a) usaremos a substituição y(x)=x^m; para (b) aplicaremos a equação característica de coeficientes constantes. Além disso, para (b) devemos calcular o Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 2

Para (a), assumimos solução do tipo y(x)=x^m. Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em
x^2y''+13x,y'+61y=0
obtemos a equação em m.

Passo 3

Substituindo:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] +13xl[mx^m-1r] +61,x^m=0 ;Longrightarrow; l[m(m-1)+13m+61r]x^m=0 ;Longrightarrow; m^2+12m+61=0
As raízes são
m=-12pmraiz144-2442 =-6pm5,i

Passo 4

Como as raízes são complexas m=-6pm5,i, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é
y(x)=x^-6l[C1cosl(5ln xr)+C2sinl(5ln xr)r]

Passo 5

Para (b), montamos a equação característica de
y''-16y'+64y=0
como
r^2-16r+64=0
O discriminante é
De<a =(-16)^2-4cdot1cdot64=256-256=0,
logo há raiz dupla.

Passo 6

A raiz dupla é
r=162=8
Assim, a solução geral é
y(x)=l(C1+C2xr)e^8x
Duas soluções fundamentais são
y1(x)=e^8x, y2(x)=x,e^8x

Passo 7

O Wronskiano de y1,y2 é
W(y1,y2)(x) = e^8x & x e^8x 8e^8x & e^8x+8x e^8x = e^8xl(e^8x+8x e^8xr) -8e^8xl(x e^8xr) = e^16x

Resposta

a) A solução geral é
y(x)=x^-6l(C1cos(5ln x)+C2sin(5ln x)r), x>0
b) A solução geral é
y(x)=(C1+C2x)e^8x, xinR,
e o Wronskiano das soluções fundamentais é
W(x)=e^16x

Exercícios relacionados