Em cada um dos problemas seguintes são dadas uma equação linear de terceira ordem homogênea e três soluções linearmente independentes. Encontre uma solução particular satisfazendo as condições iniciais dadas.
y^(3)+9 y^prime=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=-1, y^prime prime(0)=2 ; y1=1, y2=cos 3 x, y3=sen 3 x

Passo 1

O enunciado dá a equação homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3)+9,y'=0
e fornece três soluções linearmente independentes
y1=1, y2=cos(3x), y3=sin(3x)
e as condições iniciais
,y(0)=3,;y'(0)=-1,;y''(0)=2.
Como é EDO linear homogênea de ordem 3, a solução geral é combinação linear dessas três soluções. Vamos usar superposição e impor as condições para achar os constantes.

Passo 2

Escrevendo a solução geral e suas derivadas:
y(x)=c1 + c2cos(3x)+c3sin(3x),
y'(x)=-3c2sin(3x)+3c3cos(3x),
y''(x)=-9c2cos(3x)-9c3sin(3x)

Passo 3

Aplicando as condições em x=0:
y(0)=c1+c2=3,
y'(0)=3c3=-1,
y''(0)=-9c2=2
Isso gera o sistema
c1 + c2 = 3, 3c3 = -1, -9c2 = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema:
c3=-tfrac13, c2=-tfrac29, c1=3-c2=3+tfrac29=tfrac299

Resposta

y(x)=299-29cos(3x)-13sin(3x)

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