Em cada um dos problemas seguintes são dadas uma equação linear de terceira ordem homogênea e três soluções linearmente independentes. Encontre uma solução particular satisfazendo as condições iniciais dadas.
y^(3)-3 y^prime prime+3 y^prime-y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0 ; y1=e^x, y2=x e^x, y3=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação homogênea de terceira ordem
y^(3) - 3y'' + 3y' - y = 0
com três soluções linearmente independentes y1=e^x, y2=x e^x e y3=x^2e^x, e pede uma solução que satisfaça
y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=0
Vamos usar a combinação linear das três soluções e determinar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A solução geral é
y = C1e^x + C2,x e^x + C3,x^2e^x

Passo 3

Para aplicar as condições iniciais, calculamos y, y' e y''. Escrevendo
y = l(C1 + C2x + C3x^2r)e^x,
obtém-se por derivação
y' = l(C1+C2 + (C2+2C3)x + C3x^2r)e^x,
y'' = l(C1+2C2+2C3 + (C2+4C3)x + C3x^2r)e^x

Passo 4

Avaliaremos essas expressões em x=0. Como e^0=1 e os termos com x e x^2 se anulam, temos
y(0)=C1, y'(0)=C1+C2, y''(0)=C1+2C2+2C3
Impondo
y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=0
formamos o sistema
C1 = 2, C1 + C2 = 0, C1 + 2C2 + 2C3 = 0

Passo 5

Da primeira equação C1=2. Substituindo na segunda:
2 + C2 = 0 Rightarrow C2 = -2
Na terceira:
2 + 2(-2) + 2C3 = 0 Rightarrow 2 - 4 + 2C3 = 0 Rightarrow C3 = 1

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y = 2e^x - 2x e^x + x^2e^x ou y = e^xl(2 - 2x + x^2r)

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