As seguintes integrais representam o volume de um sólido de revolução. Faça um esboço desse sólido
.
Passo 1
O enunciado dá o volume
e pede o esboço do sólido de revolução correspondente. Aqui usamos o método dos discos em torno do eixo
, em que cada seção transversal perpendicular a
é um disco de raio
para
variando de
a
.
Passo 2
Identificamos a curva geratriz no plano
:
No plano
, ela é uma parábola invertida que intercepta o eixo
em
nos pontos
e atinge
em
.
Passo 3
O região que gira em torno do eixo
é o conjunto
Ao girar essa região em torno do eixo
, gera-se um sólido com seção circular de raio
em cada
.
Passo 4
Para esboçar:
- Desenhe no plano
a parábola entre e e a reta . - Indique o eixo de rotação (
) com uma seta. - No espaço, represente o sólido como um “barril” simétrico em torno do eixo
, de extremidades pontiagudas em (raio zero) e raio máximo em .
Resposta
Esboço no plano
:
x
↑
1 ───┼───────────────────── parabola x=1−y²
│ * *
│ * *
0 ───┼────────────────────── eixo x=0
│ * *
│ * *
–1 ───┼─────────────────────
│ y=–1 0 1 → y
│ * *
│ * *
0 ───┼────────────────────── eixo x=0
│ * *
│ * *
–1 ───┼─────────────────────
│ y=–1 0 1 → y
Esboço do sólido de revolução (vista lateral em
e corte em
):
z
↑
/ \ ← seção circular de raio 1 em y=0
/ \
/ \ ← gera forma de barril, ponta em y=1 e y=–1
y ←| |
\ /
\ /
\ /
· ← eixo y (vertical)
\ /
\ /
\ /
· ← eixo y (vertical)
O sólido é obtido girando essa “parábola” em torno do eixo
.