As seguintes integrais representam o volume de um sólido de revolução. Faça um esboço desse sólido
pi integral-1^1(1-y^2)^2 d y.

Passo 1

O enunciado dá o volume
V = pi integral-1^1 l(1 - y^2r)^2,dy
e pede o esboço do sólido de revolução correspondente. Aqui usamos o método dos discos em torno do eixo y, em que cada seção transversal perpendicular a y é um disco de raio
R(y) = 1 - y^2,
para y variando de -1 a 1.

Passo 2

Identificamos a curva geratriz no plano xy:
x = 1 - y^2, yin[-1,1]
No plano xy, ela é uma parábola invertida que intercepta o eixo x em x=0 nos pontos y=pm1 e atinge x=1 em y=0.

Passo 3

O região que gira em torno do eixo y é o conjunto
(x,y)mid 0<= x<= 1 - y^2,,-1<= y<=1
Ao girar essa região em torno do eixo y, gera-se um sólido com seção circular de raio R(y) em cada y.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano xy a parábola x=1-y^2 entre y=-1 e y=1 e a reta x=0.
  2. Indique o eixo de rotação ( y) com uma seta.
  3. No espaço, represente o sólido como um “barril” simétrico em torno do eixo y, de extremidades pontiagudas em y=pm1 (raio zero) e raio máximo 1 em y=0.

Resposta

Esboço no plano xy:
  x  
  ↑  
1 ───┼───────────────────── parabola x=1−y²
│ * *
│ * *
0 ───┼────────────────────── eixo x=0
│ * *
│ * *
–1 ───┼─────────────────────
│ y=–1 0 1 → y
Esboço do sólido de revolução (vista lateral em yz e corte em xz):
    z  
    ↑  
   / \      ← seção circular de raio 1 em y=0  
  /   \  
 /     \    ← gera forma de barril, ponta em y=1 e y=–1  
y ←| |
\ /
\ /
\ /
· ← eixo y (vertical)
O sólido é obtido girando essa “parábola” em torno do eixo y.

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