(5,0) Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
(1,25) \int x^{3}(\ln x)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função x^{3}(\ln x)^{2}, ou seja encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=x^{3}(\ln x)^{2},
para x>0 (note que \ln x está definido apenas para x>0). O resultado deve ser dado com a constante de integração C.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx.
  • Domínio natural: x>0.
  • Objetivo: apresentar a primitiva F(x)+C.

Passo 2

Ferramenta principal: integração por partes. Vou relembrar a fórmula e porque ela vale.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se u=u(x) e v=v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integrando ambos os lados em x obtém-se
\int u'\,v\,dx+\int u\,v'\,dx = u v + \text{const}.
Rearranjando e identificando du=u'\,dx e dv=v'\,dx, obtemos a fórmula usual:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos (de preferência uma cuja derivada seja mais simples) e dv é o restante do integrando, que é fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Aplicação ao problema. Para \displaystyle \int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx uma escolha natural é:
  • escolher u=(\ln x)^{2}, porque derivando reduzimos a potência do \ln;
  • escolher dv=x^{3}\,dx, porque integra-se facilmente.
Calculemos du e v:
du = \frac{d}{dx}\big((\ln x)^{2}\big)\,dx = 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln x}{x}\,dx,
v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Agora aplicando integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx.
Simplificando o integrando do termo restante:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{1}{2}\int x^{3}\ln x\,dx.
Portanto reduzimos o problema para calcular \displaystyle \int x^{3}\ln x\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int x^{3}\ln x\,dx por nova integração por partes. Escolhas úteis:
  • u_{1}=\ln x (derivando vira 1/x),
  • dv_{1}=x^{3}\,dx (integra-se fácil).
Calculemos du_{1} e v_{1}:
du_{1}=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v_{1}=\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx.
Calcule \int x^{3}\,dx:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Substituindo:
\int x^{3}\ln x\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}.

Passo 5

Voltar à expressão obtida no Passo 3 e substituir o resultado de \displaystyle \int x^{3}\ln x\,dx.
Recordando:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{1}{2}\int x^{3}\ln x\,dx.
Substituindo a primitiva calculada:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão passo a passo:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \left(\frac{x^{4}}{8}\ln x - \frac{x^{4}}{32}\right).
Distribuindo o sinal:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2} - \frac{x^{4}}{8}\ln x + \frac{x^{4}}{32}.
Podemos escrever de forma factorizada (opcional) para deixar mais compacto:
\int x^{3}(\ln x)^{2}\,dx = x^{4}\!\left(\frac{(\ln x)^{2}}{4} - \frac{\ln x}{8} + \frac{1}{32}\right) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4}(\ln x)^{2}-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{x^{4}}{32}+C

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