Determine as integrais abaixo, justificando a sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função
, ou seja encontrar uma função
tal que
para
(note que
está definido apenas para
). O resultado deve ser dado com a constante de integração
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Integral a calcular:
. - Domínio natural:
. - Objetivo: apresentar a primitiva
.
Passo 2
Ferramenta principal: integração por partes. Vou relembrar a fórmula e porque ela vale.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da derivada. Se
e
são diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados em
obtém-se
Rearranjando e identificando
e
, obtemos a fórmula usual:
Aqui
é uma função que escolhemos (de preferência uma cuja derivada seja mais simples) e
é o restante do integrando, que é fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Aplicação ao problema. Para
uma escolha natural é:
- escolher
, porque derivando reduzimos a potência do ; - escolher
, porque integra-se facilmente.
Calculemos
e
:
Agora aplicando integração por partes
:
Simplificando o integrando do termo restante:
Portanto reduzimos o problema para calcular
.
Passo 4
Calcular
por nova integração por partes. Escolhas úteis:
-
(derivando vira ), -
(integra-se fácil).
Calculemos
e
:
Aplicando a fórmula:
Simplificando o integrando:
Calcule
:
Substituindo:
Passo 5
Voltar à expressão obtida no Passo 3 e substituir o resultado de
.
Recordando:
Substituindo a primitiva calculada:
Passo 6
Simplificar a expressão passo a passo:
Distribuindo o sinal:
Podemos escrever de forma factorizada (opcional) para deixar mais compacto: