25- Um sistema isolado (sem contato térmico com o meio externo) modelado segundo o sólido de Einstein é formado por duas partes, uma delas contendo
e a outra
osciladores. A energia total do sistema (acima do estado fundamental) é 5 ћ
.
Na situação inicial, as duas partes do sistema composto estão isoladas uma da outra e a parte 1 tem energia de
. Nessa situação,
- o número de estados microscópicos da parte 1 é
- E o número de estados microscópicos da parte 2 é
O isolamento entre as duas partes é retirado e os dois sistemas passam a trocar energia. Entre a situação inicial e a divisão mais provável de energia,
- a variação de entropia da parte 1 é de
- a variação de entropia da parte 2 é de
- a variação de entropia do sistema composto
é de
Na situação inicial, as duas partes do sistema composto estão isoladas uma da outra e a parte 1 tem energia de
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
A energia total (acima do estado fundamental) é
. Isso significa que o número total de quanta é
Na situação inicial as duas partes estão separadas e a parte 1 tem energia
. Logo
Perguntas pedidas (em ordem):
- O número de estados microscópicos (multiplicidade) da parte 1 na situação inicial.
- O número de estados microscópicos da parte 2 na situação inicial.
- Após eliminar o isolamento e deixar trocar energia, qual é a variação de entropia da parte 1 entre a situação inicial e a divisão mais provável.
- Mesma pergunta para a parte 2.
- E a variação de entropia do sistema composto
.
A partir daqui eu vou desenvolver passo a passo como calcular tudo isso.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: multiplicidade de um sólido de Einstein.
Explicação didática:
- Um sólido de Einstein com
osciladores e quanta de energia (cada quantum vale ) tem um número de microestados dado por contar de quantas maneiras distribuir quanta entre osciladores indistinguíveis pelas posições (cada oscilador pode receber 0,1,2,… quanta). Esse é um problema clássico de “stars and bars” (barras e estrelas). - A fórmula combinatória resultante é
Aqui:
-
é a multiplicidade (número de microestados), -
é o número de osciladores, -
é o número de quanta de energia.
Vou usar essa fórmula sempre que precisar de
.
Passo 3
Aplicando a fórmula para a parte 1 na situação inicial.
Temos
e
. Então
Calculo da combinação:
Portanto, o número de microestados da parte 1 inicialmente é
.
Passo 4
Aplicando a mesma fórmula para a parte 2 na situação inicial.
Temos
e
. Então
Calculo da combinação:
Logo
.
Até agora respondemos as duas primeiras perguntas (valores
e
iniciais). Agora vamos determinar qual divisão de energia é a mais provável quando permitimos troca e, a partir disso, calcular variações de entropia.
Passo 5
Quando permitimos troca de energia, a probabilidade de uma divisão
(com
) é proporcional à multiplicidade total
Para achar a divisão mais provável basta comparar os produtos
para
e escolher onde o produto é máximo.
Vou calcular
,
e o produto para cada
.
Passo 6
Cálculos dos casos
até
.
- Para
( ):
Produto
.
- Para
( ) — este é o caso inicial:
Produto
- Para
( ):
Produto
- Para
( ):
Produto
- Para
( ):
Produto
- Para
( ):
Produto
Comparando os produtos:
. O máximo ocorre para
(produto
).
Portanto a divisão mais provável é
ou seja energias
e
.
Passo 7
Entropia e variação de entropia — fórmula e aplicação.
Fórmula que usamos (definição de Boltzmann):
Assim a variação de entropia de um subsistema ao passar de uma multiplicidade inicial
para final
é
Aplicando isso:
Para a parte 1:
-
(do Passo 3). -
(do Passo 6).
Logo
Para a parte 2:
-
. -
.
Logo
Para o sistema composto
:
- Multiplicidade inicial total:
(produto do caso ). - Multiplicidade final total:
(produto do caso ).
Então
Observação:
, e isso bate numericamente (breve conferência numérica abaixo).
Passo 8
Cálculos numéricos aproximados (para usar na prova, se pedirem número).
Calculemos os logaritmos (usando a vírgula como separador decimal):
Portanto, em unidades de
:
Essa é a resposta numérica e também a forma exata em termos de logaritmos que é preferível na maioria das provas.