Os objetos A e B são dois objetos macroscópicos idênticos. A tabela abaixo mostra o número de formas de arranjar a energia em um desses objetos, como função da quantidade de energia no objeto.
E, \mathrm{~J} 0,8 \mathrm{E}-20 1,0 \mathrm{E}-20 1,2 \mathrm{E}-20 1,4 \mathrm{E}-20
# formas 37 60 90 122
Quando há 1,2 \times 10^{-20} \mathrm{~J} de energia no objeto B , qual a entropia desse objeto?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quando há \,1,2\times10^{-20}\\ \mathrm{J}\, de energia no objeto B, qual a entropia desse objeto?”
Informações relevantes dadas pelo enunciado/tabela (vou usar explicitamente o dado da tabela):
  • A tabela mostra o número de formas (microestados) para cada valor de energia.
  • Da tabela, para a energia \,1,2\times10^{-20}\\ \mathrm{J}\, o número de formas é \,90. Vou usar esse valor diretamente da tabela.

Passo 2

Qual fórmula usar? Aqui entra a definição microscópica da entropia de Boltzmann. A entropia \,S\, de um sistema isolado, em mecânica estatística, é dada por
S = k \ln \Omega
onde:
  • \,k\, é a constante de Boltzmann, com valor \,k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\, (valor definido pelo SI),
  • \,\Omega\, é o número de microestados compatíveis com a macroestado (aqui, “nº formas” da tabela).
    Explicação didática: interpretar \Omega como o número de maneiras diferentes de distribuir a energia dentro do objeto que levam ao mesmo estado macroscópico; a entropia mede, em J/K, o “grau de espalhamento” — quanto maior \Omega, maior \,S.

Passo 3

Identificar \Omega para o caso pedido. Conforme peguei da tabela:
\Omega = 90 \quad\text{quando}\quad E = 1{,}2\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular \ln\Omega. Para \Omega=90 podemos escrever
\ln(90) = \ln(9\cdot10) = \ln(9)+\ln(10) = 2\ln(3) + \ln(10).
Usando valores padrão:
\ln(3) \approx 1{,}098612289,\qquad \ln(10) \approx 2{,}302585093.
Portanto
\ln(90) \approx 2\cdot 1{,}098612289 + 2{,}302585093 = 4{,}499809671.
Comentário prático: decompor em \ln(3) e \ln(10) é uma forma simples de calcular \ln(90) sem precisar de uma calculadora científica avançada, pois \ln(10) e \ln(3) são números tabulados.

Passo 5

Agora calculamos a entropia usando S = k\ln\Omega. Substituindo os valores:
S = \left(1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\right)\times 4{,}499809671.
Fazendo a multiplicação:
S \approx 6{,}212661271\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Arredondamento e apresentação final: considerando as cifras significativas razoáveis dos dados (o número de formas é inteiro \,90 e a constante de Boltzmann tem seis dígitos significativos), uma representação com três algarismos significativos é adequada:
S \approx 6{,}21\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

6{,}21\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}

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