Os objetos A e B são dois objetos macroscópicos idênticos. A tabela abaixo mostra o número de formas de arranjar a energia em um desses objetos, como função da quantidade de energia no objeto.
E, \mathrm{~J} 0,8 \mathrm{E}-20 1,0 \mathrm{E}-20 1,2 \mathrm{E}-20 1,4 \mathrm{E}-20
# formas 37 60 90 122
Nas condições dos itens anteriores, qual a entropia do sistema combinado dos objetos A e B, supondo que não troquem energia entre si?

Passo 1

O enunciado pede: “qual a entropia do sistema combinado dos objetos A e B, supondo que não troquem energia entre si?”
Informações dadas na tabela (peguei estes dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c|c} E\\ (\mathrm{J}) & 0,8\times10^{-20} & 1,0\times10^{-20} & 1,2\times10^{-20} & 1,4\times10^{-20} \\hline \#\\ \text{formas }(\Omega) & 37 & 60 & 90 & 122 \end{array}
Observação importante: o enunciado refere-se a “Nas condições dos itens anteriores”, mas essas condições (por exemplo, qual é a energia de A e qual é a energia de B) não foram enviadas aqui. Sem saber qual energia cada objeto realmente tem, não é possível calcular um valor numérico único da entropia do sistema combinado.

Passo 2

Conceito fundamental (aula curta): entropia microcanônica de Boltzmann.
Para um sistema isolado com \Omega microestados acessíveis, a entropia é dada por
S = k \ln\Omega,
onde k é a constante de Boltzmann ( k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}).
Significado das variáveis:
  • \Omega = número de microestados compatíveis com as condições macroscópicas (a “nº formas” da tabela).
  • S = entropia do sistema, em \mathrm{J/K}.
    Essa fórmula é central: traduz o “número de formas” em entropia através do logaritmo natural.

Passo 3

Regra para sistemas independentes que não trocam energia: se A tem \Omega_A microestados e B tem \Omega_B, o sistema combinado (A+B) tem
\Omega_{\text{total}}=\Omega_A\cdot\Omega_B,
porque para cada microestado de A podemos combinar com cada microestado de B. Aplicando Boltzmann:
S_{\text{total}} = k\ln\Omega_{\text{total}} = k\ln(\Omega_A\Omega_B) = k\ln\Omega_A + k\ln\Omega_B.
Isto mostra um ponto importante e prático: a entropia é aditiva para subsistemas independentes.

Passo 4

Como usar a tabela para obter \Omega_A e \Omega_B:
Se eu souber a energia de A (por exemplo E_A=1,0\times10^{-20}\\ \mathrm{J}), pego \Omega_A diretamente da tabela (aqui \Omega_A=60). Mesma coisa para B. Então calculo \Omega_{\text{total}}=\Omega_A\Omega_B e em seguida S_{\text{total}}=k\ln\Omega_{\text{total}}.
Repare que tudo isso depende exclusivamente de quais entradas da tabela correspondem a E_A e E_B.

Passo 5

Exemplos ilustrativos (mostro as contas passo a passo para você saber fazer na prova). Peguei os valores da tabela conforme indicado acima.
Exemplo A: ambos os objetos têm E=1,0\times10^{-20}\\ \mathrm{J} (logo \Omega_A=\Omega_B=60).
\Omega_{\text{total}}=60\cdot60=3600.
S_{\text{total}}=k\ln(3600)=k\bigl(\ln36+\ln100\bigr)=k(3,583519+\;4,605170)=k\cdot8,188689.
Usando k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}:
S_{\text{total}} \approx 8,188689\times 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\approx 1,13\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}.
(ou seja, S_{\text{total}}\approx 1,13\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}).
Exemplo B: A com E=1,4\times10^{-20}\\ \mathrm{J} ( \Omega_A=122) e B com E=0,8\times10^{-20}\\ \mathrm{J} ( \Omega_B=37).
\Omega_{\text{total}}=122\cdot37=4514.
S_{\text{total}}=k\ln(4514)\approx k\cdot8,41665\approx 8,41665\times1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\approx 1,16\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}.
(ou seja, S_{\text{total}\!}\approx 1,16\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}).

Passo 6

Interpretação prática e dica para a prova:
  • Se na prova estiver escrito explicitamente as energias de A e B, você lê \Omega da tabela, faz \Omega_{\text{total}}=\Omega_A\Omega_B e calcula S_{\text{total}}=k\ln\Omega_{\text{total}}.
  • Se os objetos não trocam energia, sempre some as entropias individuais (porque S_{\text{total}}=S_A+S_B).
  • Se faltar a informação de quais energias cada um tem (como aqui), não dá para dar um número único — só a expressão geral.

Resposta

Não é possível determinar numericamente: falta a informação sobre quais energias têm A e B. Geralmente,
S_{\text{total}}=k\ln(\Omega_A\Omega_B)=k\ln\Omega_A+k\ln\Omega_B,
onde \Omega deve ser lido na tabela (por exemplo, se ambos tiverem E=1,0\times10^{-20}\\ \mathrm{J}, então S_{\text{total}}\approx 1,13\times10^{-22}\\ \mathrm{J/K}).

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