Os objetos A e B são dois objetos macroscópicos idênticos. A tabela abaixo mostra o número de formas de arranjar a energia em um desses objetos, como função da quantidade de energia no objeto.
# formas
37
60
90
122
Nas condições dos itens anteriores, qual a entropia do sistema combinado dos objetos A e B, supondo que não troquem energia entre si?
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| # formas | 37 | 60 | 90 | 122 |
Passo 1
O enunciado pede: “qual a entropia do sistema combinado dos objetos A e B, supondo que não troquem energia entre si?”
Informações dadas na tabela (peguei estes dados da tabela do enunciado):
Informações dadas na tabela (peguei estes dados da tabela do enunciado):
Observação importante: o enunciado refere-se a “Nas condições dos itens anteriores”, mas essas condições (por exemplo, qual é a energia de
e qual é a energia de
) não foram enviadas aqui. Sem saber qual energia cada objeto realmente tem, não é possível calcular um valor numérico único da entropia do sistema combinado.
Passo 2
Conceito fundamental (aula curta): entropia microcanônica de Boltzmann.
Para um sistema isolado com microestados acessíveis, a entropia é dada por
Para um sistema isolado com
onde
é a constante de Boltzmann (
).
Significado das variáveis:
Significado das variáveis:
-
= número de microestados compatíveis com as condições macroscópicas (a “nº formas” da tabela). -
= entropia do sistema, em .
Essa fórmula é central: traduz o “número de formas” em entropia através do logaritmo natural.
Passo 3
Regra para sistemas independentes que não trocam energia: se
tem
microestados e
tem
, o sistema combinado (A+B) tem
porque para cada microestado de
podemos combinar com cada microestado de
. Aplicando Boltzmann:
Isto mostra um ponto importante e prático: a entropia é aditiva para subsistemas independentes.
Passo 4
Como usar a tabela para obter
e
:
Se eu souber a energia de (por exemplo
), pego
diretamente da tabela (aqui
). Mesma coisa para
. Então calculo
e em seguida
.
Repare que tudo isso depende exclusivamente de quais entradas da tabela correspondem a e
.
Se eu souber a energia de
Repare que tudo isso depende exclusivamente de quais entradas da tabela correspondem a
Passo 5
Exemplos ilustrativos (mostro as contas passo a passo para você saber fazer na prova). Peguei os valores da tabela conforme indicado acima.
Exemplo A: ambos os objetos têm
(logo
).
Usando
:
(ou seja,
).
Exemplo B:
com
(
) e
com
(
).
(ou seja,
).
Passo 6
Interpretação prática e dica para a prova:
- Se na prova estiver escrito explicitamente as energias de
e , você lê da tabela, faz e calcula . - Se os objetos não trocam energia, sempre some as entropias individuais (porque
). - Se faltar a informação de quais energias cada um tem (como aqui), não dá para dar um número único — só a expressão geral.
Resposta
Não é possível determinar numericamente: falta a informação sobre quais energias têm
e
. Geralmente,
onde
deve ser lido na tabela (por exemplo, se ambos tiverem
, então
).