Para o cálculo do calor específico, precisaremos lidar com diferenças de energia, o que nos leva à necessidade de calcular o valor de um quantum de energia para um dado material. Um quantum de energia tem a forma geral
, sendo
a frequência natural de cada oscilador. Para determinar
, precisamos estimar Km , a constante elástica efetiva das “molas” interatômicas, e m , a massa de cada átomo.
Cálculo da massa de um átomo
Para determinar a massa de um átomo do sólido, basta dividirmos o valor de sua massa molar pelo número de Avogadro.
Cálculo da constante efetiva da “mola” interatômica
Para a constante elástica, podemos tentar partir de sua relação com o módulo de Young (já vimos isso antes!). Entretanto, enquanto o módulo de Young é uma propriedade estática, a frequência natural de um oscilador é uma propriedade dinâmica que, em última análise, emerge da aplicação do Princípio do Momento (a segunda lei de Newton) para um átomo. Aqui precisamos ter cuidado, pois a interação de um átomo com os seus vizinhos de alguma forma precisa ser levada em consideração, e o modelo de sólido de Einstein substitui essas interações entre átomos por interações com as paredes rígidas da caixa que envolve cada átomo.
Lembre que a expressão
corresponde à frequência de oscilação de um único átomo ligado a uma única mola de constante elástica ks, e veremos que para aplicá-la a situações mais complicadas precisamos trabalhar com uma constante de mola “efetiva”. Nosso tratamento, é claro, será aproximado, mas veremos que levará a uma boa concordância com os resultados experimentais.
Vamos começar lembrando que, embora na aproximação que dá origem ao modelo de sólido de Einstein, cada átomo esteja ligado a paredes rígidas, na realidade há, do “outro lado” da parede, um outro átomo conectado à mesma mola. Qual será, nesse caso, a frequência de oscilação de cada átomo?
Considere dois átomos conectados entre si através de uma mola de constante elástica ks e comprimento relaxado
. Comprima os átomos um contra o outro, a partir de uma configuração em que a mola está relaxada, de maneira a manter fixa a posição do centro da mola(o centro de massa dos átomos), para imitar a presença da parede no modelo de Einstein. Mantido esse vínculo da posição
do centro da mola, quando um dos átomos sofre um deslocamento X , qual é a força elástica experimentada por cada átomo?
a)
b)
c)
d)
Lembre que a expressão
Vamos começar lembrando que, embora na aproximação que dá origem ao modelo de sólido de Einstein, cada átomo esteja ligado a paredes rígidas, na realidade há, do “outro lado” da parede, um outro átomo conectado à mesma mola. Qual será, nesse caso, a frequência de oscilação de cada átomo?
Considere dois átomos conectados entre si através de uma mola de constante elástica ks e comprimento relaxado
do centro da mola, quando um dos átomos sofre um deslocamento X , qual é a força elástica experimentada por cada átomo?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá duas partículas (átomos) ligadas por uma mola de constante elástica
, e comprimento relaxado
. Mantemos fixa a posição do centro da mola (isto é, do centro de massa dos dois átomos) e deslocamos um dos átomos em
. Pergunta: qual é a força elástica experimentada por cada átomo? As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Vamos lembrar a lei de Hooke para uma mola unidimensional: a força que a mola exerce é proporcional à variação do seu comprimento em relação ao comprimento natural. Escrevemos
onde
e
são as posições atuais dos dois pontos de extremidade da mola (escolhendo eixo
para direita como positivo). A força sobre o átomo da esquerda é a oposta:
Aqui
é a elongação
da mola (positiva se esticada, negativa se comprimida).
Passo 3
Escolhemos um referencial simples: inicialmente, com a mola relaxada, colocamos o centro da mola em
. Então as posições iniciais são
Isso garante
(centro fixo).
Passo 4
Impondo a condição do enunciado — “manter fixa a posição do centro da mola” — se um átomo sofre deslocamento
para a direita, o outro deve se deslocar a mesma distância
para a esquerda, de modo que o centro continue em
. Assim, após o deslocamento as posições são
(Se quisermos, podemos trocar qual átomo é o que foi deslocado; a simetria garante o mesmo módulo da força, com sinais trocados.)
Passo 5
Calculemos a elongação da mola depois do deslocamento:
Substituindo as posições:
Passo 6
Façamos as contas passo a passo:
Agora subtraímos
:
Portanto a mola ficou comprimida por
(sinal negativo indica compressão).
Passo 7
Usando a lei de Hooke para a força sobre o átomo da esquerda (átomo 1):
E a força sobre o átomo da direita (átomo 2) é a oposta:
Passo 8
Interpretação física: o átomo que foi deslocado sente uma força restauradora proporcional a
com constante efetiva igual a
. Ou seja, a situação com o centro fixo faz a mola “responder” com ganho de fator
na constante efetiva sentida por cada átomo (cada átomo vê, efetivamente, uma mola mais rígida).
Resposta
d)