(a) (1,25) Verifique que qualquer ponto da reta
\begin{aligned} & x=2 \\\ & \mathrm{r}: \quad y=4+2 t \\\ & z=1-2 t \end{aligned}
é equidistante de A(1,2,1) e B(3,2,1).
(b) (1,25) Determine o ponto de \mathbf{r} mais próximo dos pontos A(1,2,1) e B(3,2,1).

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria analítica no espaço e pede duas coisas: (a) mostrar que qualquer ponto P da reta
x=2,\quad y=4+2t,\quad z=1-2t
é equidistante de A(1,2,1) e B(3,2,1); (b) encontrar qual ponto dessa reta minimiza a distância a A e a B. Para isso vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço e depois otimizar a função distância ao quadrado por derivada.

Passo 2

Escrevemos a reta em forma vetorial. Para cada t\in\mathbb{R},
P(t)=\bigl(2,\;4+2t,\;1-2t\bigr).
Assim, dado P(t), calculamos o quadrado da distância a A e a B.

Passo 3

Distância ao quadrado de P(t) a A:
\bigl\lvert P(t)-A\bigr\rvert^2 =(2-1)^2+(4+2t-2)^2+(1-2t-1)^2 =1+(2+2t)^2+(-2t)^2.
Expandindo,
(2+2t)^2=4(1+2t+t^2),\quad(-2t)^2=4t^2,
logo
\bigl\lvert P(t)-A\bigr\rvert^2 =1+4(1+2t+t^2)+4t^2 =5+8t+8t^2.
De modo idêntico, para B temos
\bigl\lvert P(t)-B\bigr\rvert^2 =(2-3)^2+(2+2t)^2+(-2t)^2 =1+4(1+2t+t^2)+4t^2 =5+8t+8t^2.
Portanto
\bigl\lvert P(t)-A\bigr\rvert^2 =\bigl\lvert P(t)-B\bigr\rvert^2 \quad\forall t,
isto mostra que qualquer P(t) é equidistante de A e B.

Passo 4

Para achar o ponto de r que minimiza essa distância comum, basta minimizar
f(t)=5+8t+8t^2.
Derivando e igualando a zero:
f'(t)=8+16t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=-\tfrac12.

Passo 5

Substituindo t=-\tfrac12 em P(t):
x=2,\quad y=4+2\bigl(-\tfrac12\bigr)=3,\quad z=1-2\bigl(-\tfrac12\bigr)=2.
Logo o ponto buscado é P\bigl(-\tfrac12\bigr)=(2,3,2).

Resposta

O ponto de \mathbf r mais próximo de A e B é (2,3,2).

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