\begin{aligned} & x=2 \\\ & \mathrm{r}: \quad y=4+2 t \\\ & z=1-2 t \end{aligned}
é equidistante de A(1,2,1) e B(3,2,1).
(b) (1,25) Determine o ponto de \mathbf{r} mais próximo dos pontos A(1,2,1) e B(3,2,1).
Passo 1
O enunciado trabalha com geometria analítica no espaço e pede duas coisas: (a) mostrar que qualquer ponto P da reta
x=2,\quad y=4+2t,\quad z=1-2t
é equidistante de A(1,2,1) e B(3,2,1); (b) encontrar qual ponto dessa reta minimiza a distância a A e a B. Para isso vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço e depois otimizar a função distância ao quadrado por derivada.
Passo 2
Escrevemos a reta em forma vetorial. Para cada t\in\mathbb{R},
P(t)=\bigl(2,\;4+2t,\;1-2t\bigr).
Assim, dado P(t), calculamos o quadrado da distância a A e a B.